[論文レビュー] The binary gravitational lens and its extreme cases

M. Dominik|University of Groningen research database (University of Groningen / Centre for Information Technology)|Mar 1, 1999

Geophysics and Gravity Measurements参考文献 3被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、二重重力レンズの遷移を極限状態へと体系的に分析し、特にチャング・レフダールレンズ（純粋なせん断近似）および四極子レンズの極限に至る過程を、偏移場のテイラー展開および多重極展開を用いて導出する。広い二重レンズにおけるチャング・レフダール近似が偏移級数の切り捨てとして現れることが示されるとともに、広い二重レンズと近い二重レンズの間で、一方のせん断が他方の四極子固有値に等しくなるという、根本的な曖昧性が存在することが明らかとなり、マイクロレンズイベントの統一的分類が可能になる。

ABSTRACT

The transition of the binary gravitational lens from the equal mass case to small (planetary) mass ratios q is studied. It is shown how the limit of a (pure shear) Chang-Refsdal lens is approached, under what conditions the Chang-Refsdal approximation is valid, and how the 3 different topologies of the critical curves and caustics for a binary lens are mapped onto the 2 different topologies for a Chang-Refsdal lens with pure shear. It is shown that for wide binaries, the lensing in the vicinity of both lens objects can be described by a Taylor-expansion of the deflection term due to the other object, where the Chang-Refsdal approximation corresponds to a truncation of this series. For close binaries, only the vicinity of the secondary, less massive, object can be described in this way. However, for image distances much larger than the separation of the lens objects, any binary lens can be approximated by means of multipole expansion, where the first non-trivial term is the quadrupole term. It is shown that an ambiguity exists between wide and close binary lenses, where the shear at one of the objects due to the other object for the wide binary is equal to the absolute value of the eigenvalues of the quadrupole moment for the close binary. This analysis provides the basis for a classification of binary lens microlensing events, especially of planetary events, and an understanding of present ambiguities.

研究の動機と目的

• 二重重力レンズが極限状態（特にチャング・レフダールレンズおよび四極子レンズ）に至る過程を体系的に分析すること。
• 広い二重レンズにおいてチャング・レフダール近似が有効となる条件を明確にし、それが完全な二重レンズ方程式からどのように導かれるかを解明すること。
• 広い二重レンズと近い二重レンズの間で、一方のせん断が他方の四極子固有値に等しくなるという曖昧性を特定し、それを解消すること。
• 特に惑星マイクロレンズイベントを含む、二重レンズマイクロレンズイベントの包括的分類枠組みを提供すること。
• 完全なレンズ効果に収束する正確な級数展開（テイラー展開および多重極展開）を導出し、有限の切り捨てが近似として有効であることの根拠を示すこと。

提案手法

• 広い二重レンズに対して、主レンズ物体による偏移場を二次的レンズ物体の周囲でテイラー展開する。
• 複素平面における複素解析およびべき級数展開を用い、偏移成分 g₁ と g₂ を共役座標の解析関数として表現する。
• 多重極展開を用いて、大距離の画像・源距離におけるレンズ効果を記述し、最初の非自明な項が四極子項であることを示す。
• 任意の質量比に対して存在する二重レンズの臨界曲線および包絡線の3つの異なるトポロジーを、純粋せん断を持つチャング・レフダールレンズの2つのトポロジーにマッピングする。
• 既存の摂動モデル（例：Gould & Loeb, 1992；Chang & Refsdal, 1979）と比較することで、近似の有効範囲を検証する。
• 級数展開の収束条件を確立し、複素平面内半径 |x₀| の内側で収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 質量比 q → 0 のとき、二重レンズ系はどのようにしてチャング・レフダールレンズ極限に近づくか？
• RQ2 広い二重レンズの二重レンズにおいて、チャング・レフダール近似が有効となる条件は何か？
• RQ3 二重レンズの臨界曲線および包絡線のトポロジーは、純粋せん断を持つチャング・レフダールレンズのそれらとどのように対応するか？
• RQ4 広い二重レンズと近い二重レンズの間で、一方のせん断が他方の四極子固有値に等しくなるという曖昧性の本質は何か？
• RQ5 大距離におけるレンズ効果の近似に多重極展開をどのように用いることができ、四極子項が果たす役割は何か？

主な発見

• チャング・レフダール近似は、広い二重レンズにおいて、主レンズ物体による偏移のテイラー展開の最初の非自明な項に対応する。
• 広い二重レンズでは、各レンズの周囲のレンズ効果を、他方のレンズによる偏移項のテイラー展開で記述可能であり、チャング・レフダールモデルはその一次近似に相当する。
• 近い二重レンズでは、このテイラー展開で表現可能なのは二次的レンズの周囲に限られ、主レンズの影響は別途の取り扱いが必要である。
• 大距離の画像・源距離では、任意の二重レンズを多重極展開で近似可能であり、最初の非自明な寄与は四極子項である。
• 正確な数学的曖昧性が広い二重レンズと近い二重レンズの間で存在する：広い二重レンズにおける片方の物体のせん断は、同じ分離距離と質量比を持つ近い二重レンズにおける四極子モーメントの固有値の絶対値に等しい。
• 複素べき級数展開の収束半径は |x₀| であり、これは広い二重レンズの極限において、二次的レンズの周囲の半径 |x₀| の円板内での有効性を保証する。