[論文レビュー] The Birkhoff theorem for topologically massive gravity

M. Cavaglià|ArXiv.org|Apr 19, 1999

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用数 27

ひとこと要約

本稿は3次元のトポロジカル質量重力（TMG）におけるバーキホフ型定理を確立し、トポロジー $Σ_2 \times S$ の真空中の解がすべて静的で局所的にアインシュタイン自明であることを証明している。これは、宇宙定数に応じて局所的に平坦または（反）ド・ジッター時空に還元される。この結果は、一般相対性理論における古典的バーキホフ定理をTMGに一般化し、球対称性が時間不変性とコタンテンソルの消滅を意味することを示しているが、スピンを導入すると非静的解が出現する。

ABSTRACT

We derive the general $Σ_2 imes S$ solution of topologically massive gravity in vacuum and in presence of a cosmological constant. The field equations reduce to three-dimensional Einstein equations and the solution has constant Ricci tensor. We briefly discuss the emergence of non-Ricci flat solutions when spin is introduced.

研究の動機と目的

• 3次元のトポロジカル質量重力（TMG）におけるバーキホフ型定理を確立し、一般相対性理論の古典的結果を高階微分理論へ拡張すること。
• TMGの円対称な真空中解が、標準アインシュタイン重力と同様に必ず静的かつ局所的にアインシュタイン自明であるかどうかを調査すること。
• スピンや物質の結合が導入された場合に非静的解が出現する条件を探索すること。
• コタンテンソルの役割と、TMGにおける正確解の構造に与える影響を明確にすること。
• TMGにおける $Σ_2 \times S$ トポロジーを持つ真空中解の完全な分類を提供し、BTZブラックホールやド・ジッター／反ド・ジッター時空との関係を明らかにすること。

提案手法

• 本稿は、2次元の双曲的基底 $\Sigma_2$ 上の光円錐座標において、$ds^2 = f(u,v)dudv - \rho(u,v)^2 d\phi^2$ の形の計量アンザッツを用い、2次元における共形平坦性を活用している。
• アインシュタインテンソル $G^\mu_\nu$ とコタンテンソル $C^\mu_\nu$ を、共形因子 $f$ と半径関数 $\rho$ の関数として、レヴィチビタテンソルと共変微分を用いた定義に基づき明示的に計算している。
• 場の運動方程式 (1) は、$2\partial_u \mathcal{H}_1 - f\partial_v \mathcal{H}_3 = 0$ および $2\partial_v \mathcal{H}_2 - f\partial_u \mathcal{H}_3 = 0$ の形の偏微分方程式系に簡略化され、これによりコタンテンソルが消えることが示される。
• 解は、$\mathcal{H}_1 = \mathcal{H}_2 = 0$ および $\mathcal{H}_3 = \mathcal{H}_4 = \lambda/2$ の系を解くことで構成され、$f(u,v) = \frac{d\rho}{dh}\frac{dU}{du}\frac{dV}{dv}$ で表され、$h = U(u) + V(v)$ を満たす。これにより時間的キリングベクトルが保証される。
• $\lambda = 0$ の場合、解は局所的に平坦である。$\lambda \neq 0$ の場合、解は $\lambda C$ の符号に応じて局所的にド・ジッターまたは反ド・ジッター時空を表す。
• スピンを含む計量アンザッツを用いた反例を構成し、$E=0$ かつ $F$ が $u-v$ に依存する場合、コタンテンソルが非ゼロとなり、非静的幾何学が出現することを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカル質量重力において、すべての球対称真空中解が静的で局所的にアインシュタイン自明である、というバーキホフ定理が成立するか？
• RQ2 トポロジー $\Sigma_2 \times S$ を持つTMGにおける真空中解の一般形は何か？
• RQ3 スピンや非ゼロの角運動量が存在する場合、TMGにおける静的解の存在にどのような影響を与えるか？
• RQ4 物質やスピンを重力項に結合させた場合、非自明でアインシュタイン自明でない解がTMGで出現しうるか？
• RQ5 TMGの解と、既知の時空（BTZブラックホール、ド・ジッター／反ド・ジッター時空）との関係は何か？

主な発見

• トポロジー $\Sigma_2 \times S$ を持つTMGの真空中解の一般形は、静的で局所的にアインシュタイン自明であり、コタンテンソルは恒等的にゼロである。
• $\lambda = 0$ の場合、解は局所的に平坦である。$\lambda \neq 0$ の場合、$\lambda C$ の符号に応じて局所的にド・ジッターまたは反ド・ジッター時空である。
• 解は時間的キリングベクトル $\xi = (dU/du)^{-1}\partial_u - (dV/dv)^{-1}\partial_v$ を持つため、時間並進不変性が保証される。
• 共形因子 $\rho(h)$ は常微分方程式 $d\rho/dh = C + \lambda/4 \rho^2$ を満たし、三角関数または双曲函数を用いて明示的に解ける。
• スピンを導入すると非静的解が出現する：$F(u-v)$ 依存性を持つ反例では、コタンテンソルが非ゼロであり、非静的幾何学が得られる。
• ODE $2y'' + m y y' = A y$ において $A=0$ の場合の明示的解が得られ、双曲正 tangent、正 tangent、有理関数の形を取る。これらはスピンを有する非静的時空を記述する。