[論文レビュー] The Birman-Murakami-Algebras Algebras of Type Dn

Arjeh M. Cohen, D. A. H. Gijsbers+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、指定された可換環 $R$ 上で、型 $π}_n$ のBirman–Murakami–Wenzl (BMW)代数が、ランク $(2^n + 1)n!! - (2^{n-1} + 1)n!$ の自由代数であることを証明している。さらに、$π}(l,\delta)$ とテンソル積を取ると半単純になる。また、適切な環拡張においてこの代数はセルフラルであることが示され、一般化されたTemperley–Lieb代数型 $π}_n$ が自然な部分代数として含まれる。これにより、球面的単純ラクレ型のBMW代数の位相的・代数的記述が完全化される。

ABSTRACT

The Birman-Murakami-Wenzl algebra (BMW algebra) of type Dn is shown to be semisimple and free of rank (2^n+1)n!!-(2^(n-1)+1)n! over a specified commutative ring R, where n!! is the product of the first n odd integers. We also show it is a cellular algebra over suitable ring extensions of R. The Brauer algebra of type Dn is the image af an R-equivariant homomorphism and is also semisimple and free of the same rank, but over the polynomial ring Z with delta and its inverse adjoined. A rewrite system for the Brauer algebra is used in bounding the rank of the BMW algebra above. As a consequence of our results, the generalized Temperley-Lieb algebra of type Dn is a subalgebra of the BMW algebra of the same type.

研究の動機と目的

• 指定された可換環 $R$ 上での型 $\mathrm{D}_n$ のBMW代数の自由性と半単純性を証明すること。
• 型 $\mathrm{D}_n$ のBMW代数が、$R$ の適切な環拡張においてセルフラルであることを確立すること。これは、型 $\mathrm{A}_n$ に対して既知の結果を一般化する。
• 型 $\mathrm{D}_n$ の一般化されたTemperley–Lieb代数が、型 $\mathrm{D}_n$ のBMW代数およびBrauer代数の自然な部分代数として含まれることを示すこと。
• 型 $π}_n$ のBMW代数の代数的および位相的記述を完全化するために、同型写像 $π}_n)$ とすること。

提案手法

• Brauer代数の書き換え系を用いて、BMW代数のランクの上界を評価する。
• 特殊化および持ち上げ技術を用いて、Brauer代数 $\mathrm{Br}(\mathrm{D}_n)$ の単項式基底を、BMW代数 $\mathrm{B}(\mathrm{D}_n)$ の候補基底へと持ち上げる。
• 根集合上の高さ関数と $W$-軌道順序を用いて、代数内の単項式の正規代表元を定義する。
• 再帰的アルゴリズム（アルゴリズム 9.2）により、空集合を与えられた根集合 $B$ へ写す最小高の単語 $A_{B,n}$ を構成し、基底が一意に定義されることを保証する。
• 正規直交根集合とワイル群元のペアによってインデックス付けされたセルフラル基底を構成することで、BMW代数のセルフラル性を確立する。
• ワイル群元によって定まる水平ストランドと垂直ストランドを持つタングル図と一致するように、セルフラル基底を特定することで、tangle代数 $\mathbf{KT}(\mathrm{D}_n)$ との同型を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換環 $R = \mathbb{Z}[\delta, \delta^{-1}, l, l^{-1}, m]/(m(1 - \delta) - (l - l^{-1}))$ 上での型 $\mathrm{D}_n$ のBMW代数の正確なランクは何か？
• RQ2 型 $\mathrm{D}_n$ のBMW代数は、$\mathbb{Q}(l, \delta)$ に拡張したときに半単純になるか？
• RQ3 型 $\mathrm{D}_n$ のBMW代数は、$R$ の適切な拡張においてセルフラル構造をもつのか？
• RQ4 型 $\mathrm{D}_n$ の一般化されたTemperley–Lieb代数は、同じ型のBMW代数に自然に埋め込まれるのか？
• RQ5 型 $\mathrm{D}_n$ のBMW代数は、予想された通り、tangle代数 $\mathbf{KT}(\mathrm{D}_n)$ と同型であるか？

主な発見

• 型 $\mathrm{D}_n$ のBMW代数は、定理 1.1 で示されるように、環 $R$ 上でランク $(2^n + 1)n!! - (2^{n-1} + 1)n!$ の自由代数である。
• $\mathbb{Q}(l, \delta)$ とテンソル積を取ると、型 $\mathrm{D}_n$ のBMW代数は半単純になる。
• 任意の $1/2$ を含む $R$ の整域拡張において、型 $\mathrm{D}_n$ のBMW代数はセルフラルである（定理 1.2 に記載）。
• 型 $\mathrm{D}_n$ の一般化されたTemperley–Lieb代数は、Brauer代数およびBMW代数の両方の自然な部分代数である（補題 1.3 で示された）。
• 型 $\mathrm{D}_n$ のBrauer代数は、$R$-同変なホモorphism によってBMW代数の像として得られ、また $\mathbb{Z}[\delta^{\pm 1}]$ 上でも同じランクの自由代数であることが確認され、その構造が裏付けられる。
• 型 $\mathrm{D}_n$ のBMW代数とtangle代数 $\mathbf{KT}(\mathrm{D}_n)$ の同型が確立され、セルフラル基底の要素が根集合とワイル群元によって定まるタングル図に対応することが示された。