[論文レビュー] The Bismut-Elworthy-Li formula for jump-diffusions and applications to Monte Carlo pricing in finance

Thomas Cass, Peter K. Friz|ArXiv.org|Apr 13, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、非退化ジャンプ・ドリフト過程へのBismut-Elworthy-Li公式の拡張を試み、イト積分として明示的なMalliavin重みを導出することにより、金融デリバティブの効率的なモンテカルロ価格設定を可能にした。主な貢献は、複雑なMalliavin微積分に依存せず、特にデジタル・クリケットオプションに対して実装可能なギリシャ計算手法を提供することであり、ジャンプ付きの確率的ボラティリティモデルにおける数値的安定性と効率性を著しく向上させた。

ABSTRACT

We extend the Bismut-Elworthy-Li formula to non-degenerate jump diffusions and "payoff" functions depending on the process at multiple future times. In the spirit of Fournie et al [13] and Davis and Johansson [9] this can improve Monte Carlo numerics for stochastic volatility models with jumps. To this end one needs so-called Malliavin weights and we give explicit formulae valid in presence of jumps: (a) In a non-degenerate situation, the extended BEL formula represents possible Malliavin weights as Ito integrals with explicit integrands; (b) in a hypoelliptic setting we review work of Arnaudon and Thalmaier [1] and also find explicit weights, now involving the Malliavin covariance matrix, but still straight-forward to implement. (This is in contrast to recent work by Forster, Lutkebohmert and Teichmann where weights are constructed as anticipating Skorohod integrals.) We give some financial examples covered by (b) but note that most practical cases of poor Monte Carlo performance, Digital Cliquet contracts for instance, can be dealt with by the extended BEL formula and hence without any reliance on Malliavin calculus at all. We then discuss some of the approximations, often ignored in the literature, needed to justify the use of the Malliavin weights in the context of standard jump diffusion models. Finally, as all this is meant to improve numerics, we give some numerical results with focus on Cliquets under the Heston model with jumps.

研究の動機と目的

• 複数の将来時刻に依存するペイオフ関数を有する非退化ジャンプ・ドリフト過程へのBismut-Elworthy-Li公式の拡張を目的とする。
• アンチパラティブなSkorohod積分に依存しない、明示的かつ実装可能なジャンプ・ドリフトモデル用Malliavin重みの提供を目的とする。
• 特に収束が悪いデリバティブ、例えばデジタル・クリケット・コントラクトのようなものに対して、モンテカルロ数値計算の改善を目的とする。
• 先行研究で無視されがちな近似を特定・解消することで、標準的なジャンプ・ドリフトモデルにおけるMalliavin重みの使用を正当化することを目的とする。
• Hestonモデルにジャンプを組み込んだ状況において、Hestonモデルにジャンプを組み込んだ状況において、ヨーロピアン・コール・オプション、ダブル・デジタル・オプション、およびクリケット・オプションの数値的結果を通じて、本手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 非退化ジャンプ・ドリフト設定において、Bismut-Elworthy-Liフレームワークを用いて、明示的なMalliavin重みをイト積分として導出する。
• Malliavin共分散行列を組み込むことで、擬似楕円的（hypoelliptic）設定への公式の適用を可能にし、退化ボラティリティの場合でも重みの計算を可能にする。
• 切断されたジャンプ強度を有する近似SDEを用い、L²およびほとんど確実な収束を保証するための比較定理を適用して、ボラティリティ過程の収束を確保する。
• 局所化技術を用いる：不規則なペイオフに対しては拡張されたBEL公式を、滑らかな成分に対しては有限差分法を組み合わせて分散を低減する。
• 対数価格およびボラティリティにジャンプ成分を含む明示的SDEを用いたSVJJ（Hestonに二重ジャンプを加えたモデル）で手法を実装する。
• Hestonモデルにジャンプを組み込んだ状況において、ヨーロピアン・コール・オプション、ダブル・デジタル・オプション、およびデジタル・クリケット・オプションのデルタおよびガンマを数値的に計算することで、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の満期に依存するペイオフ関数を有する非退化ジャンプ・ドリフト過程へのBismut-Elworthy-Li公式の拡張は可能か？
• RQ2 ジャンプが存在する状況において、Malliavin重みの明示的形は何か？ そして、アンチパラティブなSkorohod積分に依存せずに計算可能か？
• RQ3 拡張されたBEL公式は、収束が悪いデリバティブ、例えばデジタル・オプションのようなものに対して、モンテカルロ性能を向上させられるか？
• RQ4 標準的なジャンプ・ドリフトモデルにおけるMalliavin重みの使用を正当化するために必要な近似は何か？ それらは数値的精度にどのように影響するか？
• RQ5 Hestonモデルにジャンプを組み込んだ状況において、拡張されたBEL公式はクリケット・オプションのような複雑なデリバティブに対して実際の場面で効果を発揮するか？

主な発見

• 拡張されたBismut-Elworthy-Li公式により、非退化ジャンプ・ドリフトモデルにおいて明示的なMalliavin重みがイト積分として得られ、複雑なMalliavin微積分を用いずにギリシャ計算が効率的に行える。
• 擬似楕円的モデルでは、Malliavin共分散行列を含む明示的重みが得られ、退化であっても実装が容易なまま保たれる。
• デジタル・クリケット・オプションのモンテカルロシミュレーションにおいて、分散低減が顕著に達成され、特に満期に近づいた際に標準的な有限差分法が失敗する状況でも有効である。
• 数値的結果から、SVJJモデル下でのダブル・デジタル・オプションおよびヨーロピアン・コール・オプションのデルタ計算において、拡張されたBEL公式が標準的手法を上回ることを示した。
• ジャンプがボラティリティに分離可能でない場合でも、本手法は、先行研究が要求する「分離可能なジャンプ拡散」の制限的仮定を必要とせず、依然として有効である。
• 本論文は、先行研究で無視されがちな近似を同定・解消することで、ジャンプ・ドリフトモデルにおけるMalliavin重みの使用を正当化した。