[論文レビュー] The Black-Scholes Equation and Certain Quantum Hamiltonians

Juan M. Romero, O. González-Gaxiola+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2010

Quantum Mechanics and Applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、標準運動量のゲージ的変換から導かれる修正された運動量演算子を用いて、非ヒルベルト型量子力学の枠組みを構築し、2つのヒルベルト型および2つの非ヒルベルト型ハミルトニアンを導出する。この枠組みにより、双対構造を持つ一般化されたスレーター型量子力学が構築され、非ヒルベルト型ハミルトニアンが、ブラック・ショールズ、一般化ブラック・ショールズ、およびバリアオプションモデルを含む、量子ファイナンス分野の主要なハミルトニアンと正確に対応することが示される。

ABSTRACT

In this paper a quantum mechanics is built by means of a non-Hermitian momentum operator. We have shown that it is possible to construct two Hermitian and two non-Hermitian type of Hamiltonians using this momentum operator. We can construct a generalized supersymmetric quantum mechanics that has a dual based on these Hamiltonians. In addition, it is shown that the non-Hermitian Hamiltonians of this theory can be related to Hamiltonians that naturally arise in the so-called quantum finance.

研究の動機と目的

• 標準運動量のゲージ的変換から導かれる非ヒルベルト型運動量演算子に基づく量子力学的枠組みの構築。
• この修正された運動量演算子を用いて、2つのヒルベルト型および2つの非ヒルベルト型ハミルトニアンを分類・構成すること。
• 新しいハミルトニアンに基づいて、双対構造を持つ一般化されたスレーター型量子力学の構築。
• この量子力学的枠組みにおける非ヒルベルト型ハミルトニアンと、特にブラック・ショールズモデルを含む量子ファイナンス分野の基本的ハミルトニアンとの直接的な対応関係の確立。

提案手法

• 任意関数 $ f $ を用いて、非ヒルベルト型運動量演算子 $ P_{(f)j} = e^f P_j e^{-f} $ を定義し、ヒルベルト性を破るゲージ変換された運動量を導出する。
• 4つのハミルトニアンを構成する：$ H_1 $ と $ H_2 $ はヒルベルト型の組み合わせ $ \alpha^2 \vec{P}_{(f)}^\dagger \cdot \vec{P}_{(f)} $ および $ \alpha^2 \vec{P}_{(f)} \cdot \vec{P}_{(f)}^\dagger $ であり、$ H_3 $ と $ H_4 $ は非ヒルベルト型の形 $ \beta^2 \vec{P}_{(f)}^\dagger \cdot \vec{P}_{(f)}^\dagger $ および $ \beta^2 \vec{P}_{(f)} \cdot \vec{P}_{(f)} $ である。
• 超電荷 $ Q_1, Q_2 $ および $ Q_3, Q_4 $ を定義することで、一般化されたスレーター型量子力学を構築し、$ Q^2 = 0 $ を満たすようにし、超ハミルトニアン $ H = \{Q_1, Q_2\} $ を得る。このとき、双対構造を持つ。
• ハミルトニアン $ H_{II} = \beta^2 \vec{P}_{(f)}^\dagger \cdot \vec{P}_{(f)}^{\dagger} + V_2(x) $ の1次元形を特定し、$ \beta^2 = \sigma^2/2 $、$ f(x) = \frac{1}{\sigma^2}(\sigma^2/2 - r)x $、および $ V_2(x) = r $ のパラメータ特定により、ブラック・ショールズ型ハミルトニアン $ H_{BS} $ と一致することを示す。
• 一般化ブラック・ショールズおよびバリアオプションモデルへの拡張は、$ f(x) $ および $ V_2(x) $ を調整することで、それぞれ $ H_{BSG} $ および $ H_{BSB} $ と一致させることで達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ヒルベルト型運動量演算子は、物理的整合性を保ちつつ、ヒルベルト型および非ヒルベルト型ハミルトニアンを両方生成できるか？
• RQ2 このような非ヒルベルト型枠組みから、どのように一般化されたスレーター型量子力学を構築できるか。また、その双対構造とは何か？
• RQ3 修正された運動量演算子から導かれる非ヒルベルト型ハミルトニアンと、量子ファイナンスにおけるブラック・ショールズ型ハミルトニアンとの間の正確な数学的対応関係は何か？
• RQ4 一般化ブラック・ショールズ型およびバリアオプション型ハミルトニアンは、この量子力学的モデルの特別な場合として回復可能か？

主な発見

• 非ヒルベルト型運動量演算子 $ P_{(f)j} = e^f P_j e^{-f} $ は、同一の基本的演算子構造から、2つのヒルベルト型ハミルトニアン $ H_1 $ および $ H_2 $、および2つの非ヒルベルト型ハミルトニアン $ H_3 $ および $ H_4 $ を生成する。
• 超電荷 $ Q_1 $ および $ Q_2 $ を用いて、$ Q^2 = 0 $ かつ $ \{Q_1, Q_2\} = H $ を満たす一般化されたスレーター型量子力学が構築され、$ Q_3 $ および $ Q_4 $ を用いた双対形式も可能である。これにより、標準のスレーター対称性よりも洗練された代数的構造が示される。
• 非ヒルベルト型ハミルトニアン $ H_{II} = \beta^2 \vec{P}_{(f)}^\dagger \cdot \vec{P}_{(f)}^{\dagger} + V_2(x) $ は、$ \beta^2 = \sigma^2/2 $、$ f(x) = \frac{1}{\sigma^2}(\sigma^2/2 - r)x $、および $ V_2(x) = r $ のパラメータ特定により、ブラック・ショールズ型ハミルトニアン $ H_{BS} $ を正確に再現する。
• 一般化ブラック・ショールズ型ハミルトニアン $ H_{BSG} $ は、$ f(x) $ に時間依存のドリフト関数 $ V(x) $ を含めることで回復され、$ f(x) = \int_0^x du \, \frac{1}{\sigma^2}(\sigma^2/2 - V(u)) $ とすることで、モデルの柔軟性が示される。
• バリアオプション型ハミルトニアン $ H_{BSB} $ も $ V_2(x) = V(x) $ とすることで一致し、この枠組みがパス依存金融デリバティブへの適用可能性を確認する。
• ハミルトニアンの基底状態が明示的に求められ、非ヒルベルト型演算子が実数固有値を持つ場合でも物理的に意味のある量子系を生成できることを示す。特に、金融応用分野において顕著である。