[論文レビュー] The blockage problem

Ovidiu Costin, Joel L. Lebowitz+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、整数直線上の完全非対称排除過程（TASEP）における、サイト0での遷移率がrに低下するブロック制限問題を検討する。電流j(r)の16次までのべき級数展開を用いて、臨界値rc = 1である、つまり最大電流が1/4に達するのはr ≥ 1のときのみである、強いヒューリスティックな証拠を提示する。さらに、r ≲ 1のときj(r) ≈ 1/4 − γexp[−a/(1−r)]（a ≈ 2）となることを示し、j(r) = J_max(r)を証明することで、電流関数の連続性を確立する。

ABSTRACT

We investigate the totally asymmetric exclusion process on Z, with the jump rate at site i given by r_i=1 for i nonzero, r_0=r. It is easy to see that the maximal stationary current j(r) is nondecreasing in r and that j(r)=1/4 for r>=1; it is a long outstanding problem to determine whether or not the critical value r_c of r such that j(r)=1/4 for r>r_c is strictly less than 1. Here we present a heuristic argument, based on the analysis of the first sixteen terms in a formal power series expansion of j(r) obtained from finite volume systems, that r_c=1 and that for r less than 1 and near 1, j(r) behaves as 1/4-γ\exp[-{a/(1-r)}] with a approximately equal to 2. We also give some new exact results about this system; in particular we prove that j(r)=J_max(r), with J_max(r) the hydrodynamic maximal current defined by Seppalainen, and thus establish continuity of j(r). Finally we describe a related exactly solvable model, a semi-infinite system in which the site i=0 is always occupied. For that system, the critical r is 1/2 and the analogue j_s(r) of j(r) satisfies j_s(r)=r(1-r) for r<=1/2; j_s(r) is the limit of finite volume currents inside the curve |r(1-r)|=1/4 in the complex r plane and we suggest that analogous behavior may hold for the original system.

研究の動機と目的

• Z上のTASEPにおける臨界ブロック率rcが1未満であるかどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• 非平衡系における遷移率の局所的変化が定常電流に与えるグローバルな影響を理解すること。
• r=1近辺における電流j(r)の関数的形を特定し、本質的特異点を示すかどうかを評価すること。
• 電流j(r)がrの関数として連続であることを確立すること。

提案手法

• 有限体積系から導出された、電流j(r)の16次までのべき級数展開。
• パデ近似および2階差分最小化を用いた係数の解析により、特異点の位置を推定する。
• 特異点r=1を無限大に写像する分数線形変換の適用により、収束性を向上させ、r₀ ≈ -1.5437における極を推定する。
• 鞍点法を用いて、exp[a/(1−r)]のテイラー係数のkが大きいときの漸近的挙動を導出する。
• j(r) = J_max(r)（Seppäläinenが定義した流体力学的最大電流）であることを証明し、j(r)の連続性を保証する。
• サイト0が常に占有されている関連する厳密に解ける半無限系の研究により、j^{s-i}(r) = r(1−r)（r ≤ 1/2）が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界ブロック率rcは1未満であるのか、それとも平均場理論が示唆するようにrc = 1であるのか？
• RQ2 rが1に近いときの電流j(r)の関数的形、特に1/4への到達が本質的特異点を示すかどうか？
• RQ3 電流j(r)はr=1で連続のままであるか、それを厳密に確立できるか？
• RQ4 j(r)のべき級数展開を用いて、複素平面上の特異点の位置と性質を推測できるか？
• RQ5 関連する厳密に解ける半無限系モデルの挙動は、無限系に対しても類似した挙動を示唆するか？

主な発見

• j(r)の最初の16項のべき級数解析により、臨界値rcは1未満ではなく1であることが判明した。
• r ≲ 1のとき、電流はj(r) ≈ 1/4 − γexp[−a/(1−r)]（a ≈ 2）と振る舞い、r=1に本質的特異点があることを示唆する。
• 最大電流j(r)がJ_max(r)（流体力学的最大電流）に等しいことが証明され、j(r)がrの関数として連続であることが保証される。
• j(r)のべき級数は、高精度の2通りの数値的手法により、r₀ ≈ -1.5437に極を持つことが判明した。
• サイト0が常に占有されている関連する半無限系モデルでは、r ≤ 1/2のときj^{s-i}(r) = r(1−r)であり、j^{s-i}(r)は複素平面上の|r(1−r)| = 1/4の曲線内での有限体積電流の極限である。
• exp[a/(1−r)]のテイラー係数b_kの漸近的挙動は、k→∞のときb_k ∼ const·k^{-3/4}e^{2√(ak)}となることが判明し、j(r)の指数的形と整合的である。