[論文レビュー] The blocks and weights of finite special linear and unitary groups

Zhicheng Feng|arXiv (Cornell University)|May 17, 2018

Finite Group Theory Research参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、非定義的特徴値 $ olimits\ell \geq 3$ における有限特殊線型群およびユニタリ群 $\sigma\delta\delta_n(\epsilon q)$ の $\varepsilon$-ブロックを分類し、条件 $\ell \nmid \gcd(n, q - \epsilon)$ の下で $\mathrm{SL}_n(\epsilon q)$ と $\mathrm{GL}_n(\epsilon q)$ の $\ell$-重みの間の対応関係を確立する。主な結果は、同じ条件下でこれらの群に対してアルペリン重み予想および誘導的ブロック別アルペリン重み条件が検証されることである。

ABSTRACT

This paper has two main parts. Firstly, we give a classification of the $\ell$-blocks of finite special linear and unitary groups $SL_n(εq)$ in the non-defining characteristic $\ell\ge 3$. Secondly, we describe how the $\ell$-weights of $SL_n(εq)$ can be obtained from the $\ell$-weights of $GL_n(εq)$ when $\ell mid\mathrm{gcd}(n,q-ε)$, and verify the Alperin weight conjecture for $SL_n(εq)$ under the condition $\ell mid\mathrm{gcd}(n,q-ε)$. As a step to establish the Alperin weight conjecture for all finite groups, we prove the inductive blockwise Alperin weight condition for any unipotent $\ell$-block of $SL_n(εq)$ if $\ell mid\mathrm{gcd}(n,q-ε)$.

研究の動機と目的

• 有限特殊線型群およびユニタリ群 $\mathrm{SL}_n(\epsilon q)$ の非定義的特徴値 $\ell \geq 3$ における $\ell$-ブロックを分類すること。
• $\ell \nmid \gcd(n, q - \epsilon)$ の条件下で、$\mathrm{SL}_n(\epsilon q)$ の $\ell$-重みが $\mathrm{GL}_n(\epsilon q)$ のそれらからどのように導かれるかを記述すること。
• 同じ条件下で $\mathrm{SL}_n(\epsilon q)$ に対してアルペリン重み予想が成り立つことを検証すること。
• $\ell \nmid \gcd(n, q - \epsilon)$ のとき、$\mathrm{SL}_n(\epsilon q)$ のユニポテンツ $\ell$-ブロックに対して誘導的ブロック別アルペリン重み（iBAW）条件を証明すること。

提案手法

• フォン、スリニヴァサーン、ブルー、カバネス、エングエハールド、ケッサー、マーレらによる一般線型群およびユニタリ群の $\ell$-ブロック分類結果を活用する。
• ケッサーとマーレ（2012年）の補題を用いて、$\mathrm{GL}_n(\epsilon q)$ と $\mathrm{SL}_n(\epsilon q)$ 間の $\ell$-ブロックパラメトライゼーションを関連付ける。
• 特に $\ell$-根基部分群とデフレクトゼロキャラクターの役割に注目し、有限型リー群における $\ell$-ブロックおよび $\ell$-重みの理論を適用する。
• 有限単純群の自己同型群の構造を用いて、キャラクター拡張技術を通じて誘導的ブロック別アルペリン重み条件を適用する。
• フレティーニの補題と可解商におけるホール $\ell'$-部分群の性質を用いて、ブローバー文字の拡張性質を確立する。
• [38] および [28] の結果を応用し、可解な外部自己同型群をもつ有限群におけるキャラクター拡張およびブロックの上昇について議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\ell$-ブロックが非定義的特徴値 $\ell \geq 3$ においてどのようにパラメトライズされるか？
• RQ2 $\ell \nmid \gcd(n, q - \epsilon)$ のとき、$\mathrm{SL}_n(\epsilon q)$ の $\ell$-重みと $\mathrm{GL}_n(\epsilon q)$ のそれらとの間の関係は何か？
• RQ3 $\ell \nmid \gcd(n, q - \epsilon)$ の条件下で、$\mathrm{SL}_n(\epsilon q)$ に対してアルペリン重み予想は成り立つか？
• RQ4 $\ell \nmid \gcd(n, q - \epsilon)$ のとき、$\mathrm{SL}_n(\epsilon q)$ のユニポテンツ $\ell$-ブロックに対して誘導的ブロック別アルペリン重み条件は満たされるか？

主な発見

• $\mathrm{SL}_n(\epsilon q)$ の $\ell$-ブロックは非定義的特徴値 $\ell \geq 3$ において分類され、$\mathrm{GL}_n(\epsilon q)$ に関する先行結果が拡張された。
• 条件 $\ell \nmid \gcd(n, q - \epsilon)$ の下で、$\mathrm{SL}_n(\epsilon q)$ の $\ell$-重みは制限およびインフレーションを介して $\mathrm{GL}_n(\epsilon q)$ のそれらと一対一対応する。
• アルペリン重み予想は $\ell \nmid |Z(\mathrm{SL}_n(\epsilon q))|$ のとき成り立つが、これは $\ell \nmid \gcd(n, q - \epsilon)$ に等しい。
• ユニポテンツ $\ell$-ブロックすべてに関して、$\ell \nmid \gcd(n, q - \epsilon)$ の下で誘導的ブロック別アルペリン重み条件が検証された。
• 証明はキャラクター拡張および自己同型群 $\mathrm{Aut}(X) = (G \rtimes D)/Z(G)$ の構造に依存し、$A = \mathrm{Aut}(X)/Z(G)$ が $\overline{X}$ を法として可解である。
• $n = 2$ の場合、iBAW 条件の検証は定義 2.7 の条項 (iii) の確認に帰着され、高ランクの場合と同様の議論により成立する。