[論文レビュー] The Boolean Hierarchy over Level 1/2 of the Straubing-Therien Hierarchy

Heinz Schmitz, Klaus W. Wagner|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 1998

semigroups and automata theory参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ストロービング＝テリエン階層のレベル1/2であるL(1/2)上のブール階層の各クラスについて、所属条件を確立し、階層が正当であることを証明するとともに、そのクラスが決定可能であることを示している。また、決定的有限オートマトンの遷移グラフを用いてL(1)の「禁止パターン」特徴付けを導入し、FO(<)で定義可能な言語の決定可能性結果を導出し、計算複雑性論的帰結をもたらしている。

ABSTRACT

For some fixed alphabet A, a language L of A* is in the class L(1/2) of the Straubing-Therien hierarchy if and only if it can be expressed as a finite union of languages A*aA*bA*...A*cA*, where a,b,...,c are letters. The class L(1) is defined as the boolean closure of L(1/2). It is known that the classes L(1/2) and L(1) are decidable. We give a membership criterion for the single classes of the boolean hierarchy over L(1/2). From this criterion we can conclude that this boolean hierarchy is proper and that its classes are decidable.In finite model theory the latter implies the decidability of the classes of the boolean hierarchy over the class Sigma(1) of the FO(

研究の動機と目的

• ストロービング＝テリエン階層におけるL(1/2)上のブール階層のクラスを特徴付けること。
• L(1/2)上のブール階層が正当であることを証明すること。
• この階層のクラスの決定可能性を確立すること。
• 決定的有限オートマトンの観点からL(1)の禁止パターン特徴付けを提供すること。
• 構造的結果から計算複雑性論的帰結を導出すること。

提案手法

• 論理的およびオートマトン理論的技法を用いて、L(1/2)上のブール階層の各クラスに対する所属条件を開発する。
• L(1/2)およびL(1)に属する言語を受理する決定的有限オートマトン（DFAs）の構造を分析する。
• DFAの遷移グラフにおける禁止パターン条件を導入し、L(1)への所属を特徴付ける。
• L(1/2)のブール閉包を用いてL(1)を定義し、構造的分離を用いてL(1/2)上の階層が正当であることを証明する。
• 禁止パターン特徴付けを応用して、L(1/2)上のブール階層のクラスの決定可能性を示す。
• 有限モデル理論を活用して、結果をFO(<)で定義可能な言語の決定可能性に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストロービング＝テリエン階層におけるL(1/2)上のブール階層の各クラスの正確な所属条件は何か？
• RQ2 L(1/2)上のブール階層は正当であるか、すなわち各レベルが直前のレベルを厳密に含むか？
• RQ3 決定的有限オートマトンの遷移グラフにおいて、L(1)は禁止パターンによって特徴付けられるか？
• RQ4 新しい特徴付けおよび階層構造から、計算複雑性論的帰結は何か？
• RQ5 禁止パターン特徴付けは、L(1/2)上のブール階層のクラスの決定可能性を示唆するか？

主な発見

• L(1/2)上のブール階層が正当であることが証明され、各レベルが直前のレベルを厳密に含むことを示している。
• L(1/2)上のブール階層の各クラスに対する所属条件が確立され、効果的な決定手続きが可能である。
• L(1)の禁止パターン特徴付けが提供された：言語がL(1)に属するのは、その最小DFAの遷移グラフに特定のパターンが存在しない場合に限る。
• 所属条件および禁止パターン条件を用いて、L(1/2)上のブール階層の各クラスの決定可能性が確立された。
• 有限モデル理論を介して、L(1/2)上のブール階層のクラスの決定可能性が、Sigma(1)のクラス、すなわちFO(<)で定義可能な言語のクラスに対しても成立することを示唆している。
• 構造的結果から計算複雑性論的帰結が導出され、階層内におけるクラスの構造および決定可能性の理解が向上した。