[論文レビュー] The bosonic Fock representation and a generalized Shale theorem

P. L. Robinson|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2012

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、対称代数 $ SV $ とその完全な反双対 $ SV' $ の間へ対称Fock空間 $ S[V] $ を埋め込むことで、ボソン的Fock表現の新規フレームワークを提示する。これにより、一般化Fock実装子を用いてすべての実シンプレクティック自己同型を厳密に取り扱える。主な貢献は、任意のシンプレクティック自己同型 $ g $ が、スカラー倍を除き一意に定まる一般化Fock実装子 $ U: SV \to SV' $ を持つことを示す一般化シェーレの定理であり、$ [g,i] $ がヒルベルト＝シュミット作用素であるときかつそのときに限り、$ U $ が $ S[V] $ 上でユニタリに実装されることを示す。

ABSTRACT

We detail a new approach to the bosonic Fock representation of a complex Hilbert space V: our account places the bosonic Fock space S[V] between the symmetric algebra SV and its full antidual SV'; in addition to providing a context in which arbitrary (not necessarily restricted) real symplectic automorphisms of V are implemented, it offers simplified proofs of many standard results of the theory.

研究の動機と目的

• 伝統的なFock空間構成における限界を扱うため、作用素が拡張を介して暗黙的に定義されるのではなく、明示的な公式によって定義されるようにする。
• 任意のシンプレクティック自己同型のずらされた真空状態を、代数的に厳密に扱える文脈を提供する。これは、そうでなければ比喩的表現として扱われるものである。
• ユニタリ実装可能性の特徴づけを、$[g,i]$ がヒルベルト＝シュミット性質を満たすかどうかによって与える一般化シェーレの定理を確立する。
• 1つのrigged-Hilbert空間に類似した構造 $ SV \subset S[V] \subset SV' $ 内で、場の演算子、生成子、消滅子、およびWeyl演算子を統一的に取り扱う。

提案手法

• Fock空間 $ S[V] $ は、完全な反双対 $ SV' $ の有界反線形汎関数の部分空間として実現され、$ SV' $ はすべての反線形写像 $ SV \to \mathbb{C} $ からなる。これにより三重対 $ SV \subset S[V] \subset SV' $ が得られる。
• 場の演算子 $ \pi(v) $、生成子 $ c(v) $、消滅子 $ a(v) $ は $ SV $ 上で定義され、反双対性により $ SV' $ へ拡張される：$ [U\Phi](\psi) = \Phi(U^*\psi) $。これにより、CCRは $ SV' $ 上で条件なしに成立する。
• $ g \in \mathrm{Sp}(V) $ に対する一般化Fock実装子は、すべての $ v \in V $ に対して $ U\pi(v) = \pi(gv)U $ を満たす線形写像 $ U: SV \to SV' $ として定義される。これはスカラー倍を除き一意である。
• 実装子 $ U $ は、$ g $ から導かれる二次形式 $ Z $ を持つずらされた真空状態 $ e^Z \in SV' $ を用いて明示的に構成される。$ \psi \in SV $ に対して $ U(\psi) = \|e^Z\|^{-1} \psi \cdot e^Z $ と作用する。
• coherent状態 $ \varepsilon^z $ を用いたWeyl形式の表現が開発され、$ \varepsilon^x \mapsto \varepsilon^{x+z} $ とし、Weyl演算子 $ W(v) $ は反双対性により $ EV' $ へ拡張される。
• 一般化実装子 $ U_g $ は、公式 $ [U_g \varepsilon^y](\varepsilon^x) = \exp\left\{ \frac{1}{2}\langle x|C_{g^{-1}}^{-1}(y - A_{g^{-1}}x) \rangle + \frac{1}{2}\langle C_g^{-1}(x - A_g y)|y \rangle \right\} $ で明示的に与えられ、すべての $ x,y \in V $ に対して有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素ヒルベルト空間 $ V $ のすべてのシンプレクティック自己同型（標準Fock空間ではユニタリに実装できないものも含む）を統一的に扱える代数的フレームワークを構築できるか？
• RQ2 一般化Fock実装子 $ U: SV \to SV' $ が $ g \in \mathrm{Sp}(V) $ に対して、$ S[V] $ 上でユニタリ作用素をもたらす条件は何か？
• RQ3 任意のシンプレクティック自己同型のずらされた真空状態を $ SV' $ の要素として厳密に定義できるか？また、その状態が乗算により実装子を生成するか？
• RQ4 $ S[V] $ より大きな空間で、制限なしにCCRを維持するにはどうすればよいか？この文脈において反双対 $ SV' $ の役割は何か？
• RQ5 一般化Fock実装子 $ U_g $ に対して、直接的かつ明示的な公式が存在するか？また、相互作用条件 $ UW(v) = W(gv)U $ から代数的に導出可能か？

主な発見

• 三重対 $ SV \subset S[V] \subset SV' $ は、ボソン的Fock表現の自然かつ厳密な設定を提供する。$ S[V] $ は $ SV $ の標準内積に関する完備化である。
• 場の演算子 $ \pi(v) $、生成子 $ c(v) $、消滅子 $ a(v) $ は反双対性により $ SV $ から $ SV' $ へ拡張され、$ SV' $ 上で条件なしにその交換関係が成立する。$ [\pi(x),\pi(y)] = i\,\mathrm{Im}\langle x|y\rangle\, I $ を満たす。
• すべてのシンプレクティック自己同型 $ g \in \mathrm{Sp}(V) $ は、スカラー倍を除き一意に定まる一般化Fock実装子 $ U: SV \to SV' $ を持ち、$ e^Z \in SV' $ をずらされた真空として $ U(\psi) = \|e^Z\|^{-1} \psi \cdot e^Z $ と作用する。
• 実装子 $ U $ が $ S[V] $ 上でユニタリであるのは、$ [g,i] $ がヒルベルト＝シュミット作用素であるときかつそのときに限る。これは古典的シェーレの定理を一般化する。
• Weyl形式における一般化実装子 $ U_g $ の明示的公式は、$ [U_g \varepsilon^y](\varepsilon^x) = \exp\left\{ \frac{1}{2}\langle x|C_{g^{-1}}^{-1}(y - A_{g^{-1}}x) \rangle + \frac{1}{2}\langle C_g^{-1}(x - A_g y)|y \rangle \right\} $ で与えられ、すべての $ x,y \in V $ に対して有効である。
• 循環的ベクトル性質が成り立つ：$ \{ \phi e^Z : \phi \in SV \} $ は $ S[V] $ で稠密であるため、$ e^Z $ は生成子のみによって循環的である。