[論文レビュー] The boundary of the Milnor fibre of a non-isolated hypersurface surface singularity

András Némethi, Ágnes Szilárd|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2009

Geometric and Algebraic Topology被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、1次元的特異点集合をもつ非隔離特異点をもつ超曲面特異点のミルナー fibre の境界を、方向付きのプラムブルド 3-多様体として明示的に構成する手法を提案する。また、モノドロミーの特性多項式も計算する。さらに、(f,g) が隔離的完全交差特異点 (ICIS) をなすような任意の解析的局所関数 g に対し、特異点集合に沿った横断的型のモノドロミーのデータを用いて、その誘導されるオープンブック分解を計算する。

ABSTRACT

Let f be a hypersurface surface local singularity whose zero set has 1-dimensional singular locus. We develop an explicit procedure that provides the boundary of the Milnor fibre of f as an oriented plumbed 3-manifold. The method provides the characteristic polynomial of the algebraic monodromy as well. Moreover, for any analytic germ g such that the pair (f,g) is an isolated complete intersection singularity, the (multiplicity system of the) open book decomposition of the boundary with binding determined by g and pages determined by the argument of g is also computed. In order to do this, we have to establish key results regarding the horizontal and vertical monodromies of the transversal type singularities associated with the singular locus of f and of the ICIS (f,g). The theory is supported by many examples. E.g. the case of homogeneous singularities (including the case of arrangements) is detailed completely. A list of especially peculiar examples, and also a list of related open problems is given.

研究の動機と目的

• 1次元的特異点集合をもつ超曲面特異点のミルナー fibre の境界を体系的に決定するための手続きを提供すること。
• ミルナーホモロジーに作用する代数的モノドロミーの特性多項式を計算すること。
• 特異点が別の解析的局所関数 g と組み合わさって隔離的完全交差特異点 (ICIS) をなす場合、境界のオープンブック分解を特定すること。
• 特異点集合に沿った横断的型特異点に関する水平的・垂直的モノドロミーの基礎的結果を確立すること。
• 同次特異点や配置構造に適用可能な包括的な枠組みを提供し、詳細な例と未解決問題を提示すること。

提案手法

• 特異点集合の幾何と局所モノドロミーのデータを用いて、ミルナー fibre の境界を方向付きのプラムブルド 3-多様体として構成する。
• 特異点理論の技法を用い、f の 1次元的特異点集合に沿った横断的型特異点を分析する。
• 局所解析的不変量を用いて、f と ICIS (f,g) の横断的型に付随する水平的・垂直的モノドロミー作用を導出する。
• モノドロミーのデータを用いて、f のミルナーホモロジー上の代数的モノドロミーの特性多項式を計算する。
• ICIS のモノドロミーに基づき、g の引数によって与えられるページと、g によって定義されるバインディングをもつオープンブック分解を構成する。
• 同次特異点や配置構造の具体例を用いて、理論的枠組みの妥当性と可視化を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元的特異点集合をもつ非隔離特異点をもつ超曲面特異点のミルナー fibre の境界は、どのようにプラムブルド 3-多様体として記述できるか？
• RQ2 このような特異点のミルナーホモロジーに作用する代数的モノドロミーの特性多項式は何か？
• RQ3 特異点が別の関数 g と組み合わさって ICIS をなす場合、境界のオープンブック分解はどのように振る舞うか？
• RQ4 特異点集合に沿った横断的型特異点の文脈において、水平的・垂直的モノドロミーの構造的性質は何か？
• RQ5 この理論は同次特異点や配置構造にどのような意味を持つのか。また、この文脈で生じる未解決問題は何か？

主な発見

• 1次元的特異点集合をもつ非隔離特異点をもつ超曲面特異点のミルナー fibre の境界は、明示的に方向付きのプラムブルド 3-多様体として実現される。
• 代数的モノドロミーの特性多項式は、特異点集合に沿った横断的型特異点のモノドロミーのデータから直接計算される。
• 任意の解析的局所関数 g について、(f,g) が ICIS をなす場合、境界のオープンブック分解は g のモノドロミーと特異点集合の幾何から完全に決定される。
• 理論により、f と ICIS (f,g) の両方について、モノドロミーの分解が水平的・垂直的成分に完全に記述される。
• 同次特異点や配置構造に対しても、この枠組みは完全に適用可能であり、これらのケースについて詳細な計算が提供されている。
• 本稿では、特に病理的な例のリストと関連する未解決問題のセットを提示しており、この手法の適用範囲と限界を強調している。