[論文レビュー] The bounded spherical functions for the free two step nilpotent Lie group

Véronique Fischer|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、自由な二段階可解なリー群 $N_p$ と直交群 $O(p)$ もしくは $SO(p)$ の作用の下で、表現論と調和解析を用いて、有界な球関数の完全な特徴付けを提供する。これらの関数の明示的表現を導出し、Kohnの亜ラプラシアン作用素の固有値を計算するとともに、径数的プランシュレル測度を特定し、$K$-不変な $L^2$ 関数に対する完全なスペクトル分解を実現する。結果は、ハイゼンベルク群のような既知のケースを一般化し、より高ランクの自由可解群へと拡張される。

ABSTRACT

In this paper, we give the expressions for the bounded spherical functions, or equivalently the spherical functions of positive type, for the free two-step nilpotent Lie groups endowed with the actions of orthogonal groups or their special subgroups. Next we deduce some results about the (Kohn) sub-Laplacian, and we compute the radial Plancherel measure.

研究の動機と目的

• 自由な二段階可解なリー群 $N_p$ に対して、$O(p)$ もしくは $SO(p)$ の作用の下で、すべての有界球関数を完全かつ厳密に導出すること。ハイゼンベルク群の既知の結果を拡張する。
• Kohnの亜ラプラシアン作用素がこれらの球関数に作用するときの固有値を計算すること。
• Gelfandペアの文脈において、$K$-不変関数に対する径数的プランシュレル測度を特定すること。
• 球関数、ラゲール関数およびエルミート関数、および $N_p$ の表現論との関係を、誘導表現を介して確立すること。

提案手法

• Gelfandペア $(N_p, O(p))$ の構造を用い、$O(p)$ 内の安定化部分群の既約表現から誘導表現 $\Pi_{r,\Lambda,l}$ を構成することで、有界球関数を構成する。
• 標準的実現 $\mathcal{N}_p = \mathcal{V} \oplus \mathcal{Z}$ を用い、$\mathcal{V} \cong \mathbb{R}^p$、$\mathcal{Z} \cong \mathfrak{so}(p)$ と定義し、リー括弧積を $[X,Y](V) = \langle X,V\rangle Y - \langle Y,V\rangle X$ で定義する。
• 球関数 $\phi^{r,\Lambda,l}$ を、表現 $\Pi_{r,\Lambda,l}$ の行列係数として表現し、ラゲール関数およびエルミート関数の正規直交基底を用いる。
• 微分表現 $d\Pi(L)$ を用いて、Kohnの亜ラプラシアン $L = -\sum_{i=1}^p X_i^2$ の作用を計算し、固有値 $\sum_{j=1}^{p_1} \lambda_j(2l_j + m_j) + r^2$ を得る。
• 径数的プランシュレル測度 $m^\natural$ を、$\mathcal{L}$ 上の $\eta'$、$\mathbb{N}^{p'}$ 上の数え上げ測度、および $\mathbb{R}^+$ 上の $\tau$ のテンソル積として導出し、正規化定数 $c(p)$ を用いる。
• 反対称行列の極座標分解と、測度 $d\eta$ が $O(p)$ に関して不変であることに基づいて、プランシュレル公式の正当化を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由な二段階可解なリー群 $N_p$ に対して、$O(p)$ もしくは $SO(p)$ の作用の下で、有界球関数の完全な表現は何か？
• RQ2 球関数は、$N_p$ 上のKohnの亜ラプラシアンの固有関数とどのように関係しているか？
• RQ3 Gelfandペア $(N_p, O(p))$ の下で、$K$-不変関数に対する径数的プランシュレル測度は何か？
• RQ4 球関数および関連する測度を用いて、$L^2(N_p)$ のスペクトル分解はどのように実現できるか？

主な発見

• 有界球関数 $\phi^{r,\Lambda,l}$ は、誘導表現 $\Pi_{r,\Lambda,l}$ の行列係数として明示的に与えられ、$r \in \mathbb{R}^+$、$\Lambda \in \mathcal{L}$、$l \in \mathbb{N}^{p'}$ を満たす。
• Kohnの亜ラプラシアン $L$ は、$\phi^{r,\Lambda,l}$ に作用し、固有値 $\sum_{j=1}^{p_1} \lambda_j(2l_j + m_j) + r^2$ を持つ。ここで $\lambda_j$ は反対称行列 $A$ の正の固有値であり、$m_j$ は $\lambda_j$ の重複度である。
• 径数的プランシュレル測度 $m^\natural$ は、$\mathcal{L}$ 上の測度 $\eta'$、$\mathbb{N}^{p'}$ 上の数え上げ測度、および $\mathbb{R}^+$ 上の $\tau$ のテンソル積であり、正規化定数 $c(p)$ を用いて定義される。$K$-不変な $\psi \in L^2(N)$ に対して $\|\psi\|^2_{L^2(N)} = \int |\langle \psi, \phi^{r,\Lambda,l} \rangle|^2 dm^\natural(r,\Lambda,l)$ を満たす。
• 非径数的プランシュレル測度 $m$ は、$O(p)$ 上のハール測度 $dk$、$\mathcal{L}$ 上の $\eta'$、$\mathbb{R}^+$ 上の $\tau$ のテンソル積であり、正規化定数 $c(p)$ を用いて定義され、$L^2(N)$ に対する完全なプランシュレル公式を満たす。
• $d\eta(\Lambda)$ は、$p=2p'$ のとき $c \prod_{j<k} (\lambda_j^2 - \lambda_k^2)^2 d\Lambda$、$p=2p'+1$ のとき $c \prod_i \lambda_i^2 \prod_{j<k} (\lambda_j^2 - \lambda_k^2)^2 d\Lambda$ として定義され、$\mathcal{A}_p$ の極座標分解を保証する。
• 誘導表現による構成と、ラゲール関数およびエルミート関数の使用により、$K$-不変関数に対する $N_p$ 上の完全かつ明示的なスペクトル理論が確立され、ハイゼンベルク群の場合を一般化する。