[論文レビュー] The Boundedness of Multilinear operators with rough kernel on the weighted Morrey spaces

Sha He|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2011

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、関数 $ A $ の導関数が同次リプシッツ空間 $ \dot{\Lambda}_{\beta} $ または BMO 空間に属する条件下で、重み付きモリィ空間上における多項線形分数的および特異積分作用素の強い有界性を確立する。これらの結果は、実変数技法と拡張的議論を用いて、古典的な有界性結果をより一般の重み付きモリィ空間設定へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we show the strong and weak type boundedness of $T_{Ω,α}^A$ and $M_{Ω,α}^A$, the multilinear fractional integral operators and the corresponding fractional maximal operators, on the two weights weighted Morrey space. Furthermore, we also obtain the mulitilinear singular integral operators $T_Ω^A$ and the corresponding maximal operators $M_Ω^A$ are strong bounded operators on the same spaces.

研究の動機と目的

• 多項線形分数的および特異積分作用素の重み付きモリィ空間上における有界性を調査する。これは $ L^p $ を一般化し、局所可積分性と減衰性の性質を捉える関数空間のクラスである。
• 多項線形作用素の重み付きモリィ空間上における既知の $ L^p $ 有界性結果を、より一般の重み付きモリィ空間設定へと拡張する。
• 関数 $ A $ の滑らかさの仮定を最小限に抑えた強作用素有界性を確立する。具体的には、$ m-1 $ 階微分までが $ \dot{\Lambda}_{\beta} $ または $ BMO $ に属する場合を想定する。
• 多項線形分数的積分作用素 $ T_{\Omega,\alpha}^{A} $ 及びその最大作用素 $ M_{\Omega,\alpha}^{A} $、および特異積分作用素 $ T_{\Omega}^{A} $ とその最大版 $ M_{\Omega}^{A} $ の重み付きモリィ空間上での挙動を分析する。
• 二重重みおよび一重重み条件に応じて、有界性の完全な特徴付けを提供する。これは $ D^{\gamma}A $ の滑らかさクラスに依存する。

提案手法

• 作用素の $ L^{p,\kappa}(w) $ ノルムを推定するために、dyadic 分解および Calderón-Zygmund 分解を含む実変数技法を用いる。
• ジョン＝ニレングラフの不等式および BMO ノルム推定を用いて、立方体上での $ A $ 及びその導関数の振動を制御する。
• ホルダーの不等式および Muckenhoupt 重みの逆二重性を用いて、作用素の重み付きノルムを制御する。
• dyadic 立方体上でのテストおよび拡張的議論を用いて、重み付きモリィ空間上における最大関数および分数的積分の有界性を適用する。
• 多項線形作用素を導関数の表現に書き換えるために、$ m $ 階のテイラー剰余項 $ R_m(A;x,y) $ の定義を用いる。これにより、BMO およびリプシッツ空間ノルムの利用が可能になる。
• $ L^{p,\kappa}(w) $ と $ L^{p',\kappa'}(w^{-\frac{1}{p-1}}) $ の双対性を用いて、作用素ノルムの推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ D^{\gamma}A $（$ |\gamma| = m-1 $）にどのような条件下で、多項線形分数的積分作用素 $ T_{\Omega,\alpha}^{A} $ 及びその最大作用素 $ M_{\Omega,\alpha}^{A} $ は重み付きモリィ空間上で有界となるか？
• RQ2 $ D^{\gamma}A \in \dot{\Lambda}_{\beta} $ または $ D^{\gamma}A \in BMO $ のとき、$ T_{\Omega}^{A} $ 及び $ M_{\Omega}^{A} $ は重み付きモリィ空間上で有界とみなせるか？
• RQ3 二重重みおよび一重重み条件は、これらの多項線形作用素の重み付きモリィ空間上での有界性にどのように影響するか？
• RQ4 作用素ノルムは、$ D^{\gamma}A $ の BMO またはリプシッツ半ノルムにどのように依存するか？
• RQ5 $ L^p $ 空間で用いられる技法を、より一般の重み付きモリィ空間上での強い有界性を示すために適応できるか？

主な発見

• $ D^{\gamma}A \in \dot{\Lambda}_{\beta} $（$ |\gamma| = m-1 $）のとき、二重重み条件の下で多項線形分数的積分作用素 $ T_{\Omega,\alpha}^{A} $ 及びその最大版 $ M_{\Omega,\alpha}^{A} $ は $ L^{p,\kappa}(w) $ から $ L^{q,\kappa}(w) $ へと有界である。
• $ D^{\gamma}A \in BMO $（$ |\gamma| = m-1 $）のとき、一重重み条件下で作用素 $ T_{\Omega,\alpha}^{A} $ 及び $ M_{\Omega,\alpha}^{A} $ は重み付きモリィ空間上で有界である。
• 多項線形特異積分作用素 $ T_{\Omega}^{A} $ 及び $ M_{\Omega}^{A} $ については、$ D^{\gamma}A \in \dot{\Lambda}_{\beta} $ のとき、$ L^{p,\kappa}(w) $ 上で有界であり、作用素ノルムは $ \|D^{\gamma}A\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}} $ で制御される。
• $ D^{\gamma}A \in BMO $ で $ m = 1,2 $ のとき、作用素 $ T_{\Omega}^{A} $ 及び $ M_{\Omega}^{A} $ は一重重み条件下で重み付きモリィ空間上で有界であり、ノルムは $ D^{\gamma}A $ の BMO 半ノルムに依存する。
• 証明は dyadic 分解、重み付きジョン＝ニレングラフ不等式、および重み付きモリィ空間上での最大関数および分数的積分作用素の推定に依存する。
• これらの結果は、古典的な $ L^p $ 有界性結果を重み付きモリィ空間設定へと一般化し、多項線形作用素にまつわる文献における空白を埋める。