[論文レビュー] The Brauer-Picard group of the representation category of finite supergroup algebras

Martín Mombelli|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、有限超群代数の表現カテゴリのブラウアー・ピカード群を計算する。有限超群代数は、$\mathcal{A}(V,u,G) = \wedge(V) \# \Bbbk G$ の形のホップ代数であり、$u$ は $G$-加群 $V$ 上で $-1$ に作用する位数2の中心的元である。$\mathcal{A}(V,u,G) \otimes \mathcal{A}(V,u,G)^{\rm{cop}}$ 内のコイデアル部分代数の変形による、完全で分解不能な双加群カテゴリの分類を用いて、ブラウアー・ピカード群とラグランジュ的データの同値類のなす群との間に群同型を確立し、可逆な双加群カテゴリの完全な構造的記述が得られる。

ABSTRACT

We develop further the techniques presented in [M. Mombelli. On the tensor product of bimodule categories over Hopf algebras. Preprint arXiv:1111.1610 ] to study bimodule categories over the representation categories of arbitrary finite-dimensional Hopf algebras. We compute the Brauer-Picard group of equivalence classes of exact invertible bimodule categories over the representation categories of a certain large family of pointed non-semisimple Hopf algebras, the so called supergroup algebras. To obtain this result we first give a classification of equivalence classes of exact indecomposable bimodule categories over such Hopf algebras.

研究の動機と目的

• 有限超群代数の表現カテゴリのブラウアー・ピカード群を計算すること。これは非半単純な点的ホップ代数のクラスである。
• $\operatorname{Rep}(\mathcal{A}(V,u,G))$ 上の完全で分解不能な双加群カテゴリの同値類を、$\mathcal{A}(V,u,G) \otimes \mathcal{A}(V,u,G)^{\rm{cop}}$ 内のコイデアル部分代数の変形を用いて分類すること。
• ブラウアー・ピカード群とラグランジュ的データ $(W^1,W^2,W^3,\beta,F,\psi)$ の同値類のなす群との間に群同型を確立すること。
• シンプレクティックに似た双線形形式と群作用を用いて、可逆な双加群カテゴリの明示的パラメータ表示を与えること。

提案手法

• $\operatorname{Rep}(\mathcal{A}(V,u,G))$ 上の完全で分解不能な双加群カテゴリを、$\mathcal{A}(V,u,G) \otimes \mathcal{A}(V,u,G)^{\rm{cop}}$-余加群代数の同値類によって分類する。
• $\mathcal{A}(V,u,G)$ がコラジカルに順序付けられていることを利用して、分類をテンソル積内のコイデアル部分代数の変形に還元する。
• $F \subseteq G \times G$ を部分群とし、$\psi$ を2次コサイクルとし、$\beta$ を特定の対称性および反対称性を持つ $F$-不変な双線形形式とする、6重組 $(W^1,W^2,W^3,\beta,F,\psi)$ を構成して、このような双加群カテゴリをパラメータ表示する。
• これらの6重組に同値関係を定義し、同値な双加群カテゴリをもたらすものを同一視する。
• ブラウアー・ピカード群と、$V \oplus V^*$ の自己同型の同値類のなす群 $\overline{\mathcal{O}}(V,u,G)$ の間の群同型を確立する。
• $\sigma(\overline{(T,\alpha)}) = \overline{(\tau(W_T,\beta_T), \alpha)}$ で定義される写像 $\sigma: \overline{\mathcal{O}}(V,u,G) \to \overline{\mathrm{Lag}}(V,u,G)$ が適切に定義された群同型であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限超群代数の表現カテゴリのブラウアー・ピカード群の構造は何か？
• RQ2 $\operatorname{Rep}(\mathcal{A}(V,u,G))$ 上の完全で分解不能な双加群カテゴリはどのように分類できるか？
• RQ3 群作用、部分空間、双線形形式を用いて、可逆な双加群カテゴリの正確なパラメータ表示は何か？
• RQ4 ブラウアー・ピカード群とラグランジュ的データのなす群との間に群同型は存在するか？
• RQ5 スウィーデラー・ホップ代数のような具体的な例では、ブラウアー・ピカード群はどのように振る舞うか？

主な発見

• ブラウアー・ピカード群 $\mathrm{BrPic}(\operatorname{Rep}(\mathcal{A}(V,u,G)))$ は、$V \oplus V^*$ の自己同型の同値類のなす群 $\overline{\mathcal{O}}(V,u,G)$ に同型である。
• $\operatorname{Rep}(\mathcal{A}(V,u,G))$ 上のすべての完全で分解不能な双加群カテゴリは、双線形形式 $\beta$ に特定の不変性および対称性条件を満たす6重組 $(W^1,W^2,W^3,\beta,F,\psi)$ から生じる。
• 同型 $\sigma: \overline{\mathcal{O}}(V,u,G) \to \overline{\mathrm{Lag}}(V,u,G)$ は適切に定義されており、全単射である。これはブラウアー・ピカード群がこのような6重組の同値類によって分類されることを示している。
• スウィーデラー・ホップ代数（$\dim V = 1$, $G = \mathbb{Z}_2$）の場合、ブラウアー・ピカード群は $\mathcal{O} \times \mathbb{Z}_2$ に同型であり、ここで $\mathcal{O} = \{A \in SL_2(\mathbb{C}) : A_{12} = 0\}$ であり、4次の可逆な双加群カテゴリの1パラメータ族を含む。
• $(u,u) \notin F$ のとき、双線形形式 $\beta$ は $W^1 \times W^2$ に制限して消えるため、このような場合の分類が簡略化される。
• 本構成により、2つの可逆な双加群カテゴリのテンソル積が再び可逆かつ分解不能であることが保証され、ブラウアー・ピカード群の群構造と整合的である。