[論文レビュー] The Brezis-Nirenberg problem for the fractional $p$-Laplacian

Sunra Mosconi, Kanishka Perera+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 42被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、有界領域における分数階 $p$-ラプラシアン・ブレジス-ニレングェルン問題に対して、非自明な解の存在を確立する。主な挑戦として、$p \neq 2$ のとき分数階ソボレフ不等式の明示的最小値関数が存在しないこと、および古典的リンキング定理に必要な直接的和分解が存在しないことに対処する。同定は、コhomological indexに基づくリンキング定理と最小値関数の漸近的推定を用いた新規な変分的アプローチを導入し、$N > sp^2$ および $\lambda$ が異なるスペクトル領域にある場合の臨界指数条件のもとで解の存在を証明する。

ABSTRACT

We obtain nontrivial solutions to the Brezis-Nirenberg problem for the fractional $p$-Laplacian operator, extending some results in the literature for the fractional Laplacian. The quasilinear case presents two serious new difficulties. First an explicit formula for a minimizer in the fractional Sobolev inequality is not available when $p e 2$. We get around this difficulty by working with certain asymptotic estimates for minimizers recently obtained by Brasco, Mosconi and Squassina. The second difficulty is the lack of a direct sum decomposition suitable for applying the classical linking theorem. We use an abstract linking theorem based on the cohomological index proved by Perera and Yang to overcome this difficulty.

研究の動機と目的

• 古典的ブレジス-ニレングェルン結果を分数階ラプラシアンから、$p \neq 2$ の非線形分数階 $p$-ラプラシアンの場合に拡張すること。
• 変分法の鍵となる障害である、$p \neq 2$ のとき分数階ソボレフ不等式の最小値関数に明示的公式が存在しない問題に対処すること。
• 非線形設定において古典的リンキング定理に必要な直接的和分解が存在しない問題を克服すること。
• 幾何的およびスペクトル的条件 $N$, $s$, $p$, および $\lambda$ の下で、臨界分数階 $p$-ラプラシアン問題に対する非自明な弱解の存在を確立すること。

提案手法

• 最近の研究 [4] で得られた分数階ソボレフ不等式の最小値関数に対する漸近的推定を用い、明示的最小値関数の公式の必要性を回避する。
• 文献 [48] に由来するコhomological indexに基づく抽象的リンキング定理を適用し、非線形設定における直接的和分解の欠如を回避する。
• Gagliardo半ノルムをノルムとする空間 $W^{s,p}_0(\Omega)$ における変分的枠組みを用い、積分恒等式による弱解の定義を行う。
• 切り上げ関数 $\eta_\delta$ および $\varphi_\delta$ を用いた切断およびスケーリングの議論を実施し、エネルギー推定における局所的および大域的寄与を制御する。
• 特に境界付近における解の鋭い正則性推定および減衰評価に依存し、関連する線形化問題の解に対して適用する。
• パrameter $\delta$ を用いた精緻なエネルギー比較議論により、切断関数の $L^p$-ノルムを制御し、リンキング構成における一様有界性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階 $p$-ラプラシアン・ブレジス-ニレングェルン問題において、$p \neq 2$ のとき、分数階ソボレフ不等式の最小値関数に明示的公式が存在しないにもかかわらず、非自明な解を確立できるか？
• RQ2 直接的和分解が存在しない非線形設定において、古典的リンキング定理をどのように適合させられるか？
• RQ3 $N$, $s$, $p$, および $\lambda$ にどのような条件が課されると、臨界分数階 $p$-ラプラシアン方程式に対する非自明な弱解の存在が保証されるか？
• RQ4 分数階ソボレフ不等式の最小値関数に対する漸近的推定は、変分的枠組みにおけるリンキング幾何の構成をどのように支援するか？
• RQ5 どのようなスペクトル的および幾何的条件下で、コhomological indexに基づくリンキング定理が関連エネルギー汎関数の非自明な臨界点を導くか？

主な発見

• 非自明な弱解は、$N \geq sp^2$ かつ $0 < \lambda < \lambda_1$（第一固有値）のとき存在する。
• $N > sp^2$ かつ $\lambda > \lambda_1$ が固有値 $\lambda_k$ でないとき、解は存在する。これは半線形の場合の結果を拡張する。
• $N^2/(N+s) > sp^2$ かつ $\partial\Omega$ が適切な正則性を持つとき、$\lambda = \lambda_k$ が固有値である場合に解が存在する。
• $\partial\Omega \in C^{1,1}$ かつ $(N^3 + s^3 p^3)/N(N+s) > sp^2$ のとき、$\lambda = \lambda_k$ が固有値である場合に解が存在し、非線形設定における臨界閾値を確認する。
• エネルギー汎関数は、直接的和分解が存在しない状況においてもコhomological indexに基づくリンキング幾何を満たし、抽象的リンキング定理の適用を可能にする。
• 切断エネルギー汎関数 $\|v_\delta\|^p \leq 1 + C\delta^N$ に対する一様有界性が確立され、$\delta \to 0$ の極限におけるリンキング構成の制御に不可欠である。