[論文レビュー] The Brunn-Minkowski inequality and a Minkowski problem for $\mathcal{A}$-harmonic Green's function

Murat Akman, John L. Lewis+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2018

Point processes and geometric inequalities参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^n$ 内の凸コンパクト集合 $E \subset \mathbb{R}^n$ の外部における $Ç$-調和Green関数に関連する $χ$-調和容量 $Ç_{\mathcal{A}}(E)$ に対して、Brunn-Minkowski型不等式を確立する。$p > n$ の場合、$\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)^{1/(p-n)}$ がMinkowski加法に関して凹であること、$p = n$ の場合、$\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)$ が凹であることの証明を行う。さらに、$Ç$-調和Green関数から導かれる測度に関するMinkowski型の存在および一意性結果を示し、古典的Minkowski条件が必要かつ十分であることを示し、解は平行移動を除いて一意的であることを示す。

ABSTRACT

In this article we study two classical problems in convex geometry associated to $\mathcal{A}$-harmonic PDEs, quasi-linear elliptic PDEs whose structure is modeled on the $p$-Laplace equation. Let $p$ be fixed with $2\leq n\leq p

研究の動機と目的

• 凸コンパクト集合 $E \subset \mathbb{R}^n$ の外部における、無限遠点に極を持つ $\mathcal{A}$-調和Green関数を定義し、その存在および一意性を確立すること。
• 無限遠点における $\mathcal{A}$-調和Green関数の漸近的挙動を捉える容量的性質 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)$ を導入すること。
• 凸集合のMinkowski加法に関して、$\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)$ に対するBrunn-Minkowski型不等式を証明し、正則性条件下で等号成立時に同一直線比が成立することを示すこと。
• $\mathcal{A}$-調和Green関数に関連する測度 $\mu_E$ に対するMinkowski型問題を定式化し、解の存在に必要なおよび十分な条件を示すこと。
• Brunn-Minkowski不等式および変分的技法を用いて、Minkowski問題の解が平行移動を除いて一意的であることを確立すること。

提案手法

• $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)$ を、$\mathbb{R}^n \setminus E$ 上の $\mathcal{A}$-調和PDEの解から得られる無限遠点における漸近的挙動として定義する。
• $p \geq n$ の場合、$\mathcal{A}$-調和PDEの文脈において変分法およびPerron法を用いて、$\mathcal{A}$-調和Green関数の存在および一意性を証明する。
• Hadamardの公式および比較原理を用いた変分的アプローチにより、$\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)$ に対するBrunn-Minkowski不等式を確立する。
• Hadamardの変分公式を用いて、Minkowski結合 $E_t = (1-t)E_0 + tE_1$ に関する $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E_t)$ の微分を表面測度 $\mu_E$ と関連付ける。
• $p > n$ の場合の $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)^{1/(p-n)}$ あるいは $p = n$ の場合の $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)$ の凹性を用いて、Minkowski問題の解が平行移動を除いて一意的であることを証明する。
• Whitney分解およびLipschitz領域における境界推定を用いて、$E$ の境界付近における $\mathcal{A}$-調和関数の成長を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathcal{A}$-調和Green関数に関連する容量 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)$ は、凸集合のMinkowski加法に関してBrunn-Minkowski型不等式を満たすか？
• RQ2 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)$ に対するBrunn-Minkowski不等式で等号が成立するための条件は何か？ また、その場合、集合が相似である（同一直線比）とは限らないか？
• RQ3 $\mathcal{A}$-調和Green関数から導かれる測度 $\mu_E$ に対して、Minkowski型問題を定式化できるか？ また、解の存在に必要なおよび十分な条件は何か？
• RQ4 $\mu_E$ に対するMinkowski問題の解は、平行移動を除いて一意的であるか？ これはどのようにBrunn-Minkowski不等式から導かれるか？
• RQ5 外部領域における $\mathcal{A}$-調和関数の変分的および漸近的性質は、古典的幾何的不等式とどのように関係しているか？

主な発見

• $n < p < \infty$ の場合、$\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)^{1/(p-n)}$ はBrunn-Minkowski不等式を満たす： $\left[\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(\lambda E_1 + (1-\lambda)E_2)\right]^{1/(p-n)} \geq \lambda \left[\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E_1)\right]^{1/(p-n)} + (1-\lambda)\left[\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E_2)\right]^{1/(p-n)}$ であり、$\lambda \in [0,1]$ である。
• $p = n$ の場合、汎関数 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)$ はMinkowski加法に関して自身が凹である： $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(\lambda E_1 + (1-\lambda)E_2) \geq \lambda \mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E_1) + (1-\lambda)\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E_2)$。
• いずれのBrunn-Minkowski不等式でも、等号が成立するのは、$\mathcal{A}$ の構造および正則性条件を満たす限り、$E_1$ と $E_2$ が同一直線比であるときである。
• $\mu_E$ に対するMinkowski問題は、測度 $\mu$ が古典的Minkowski条件を満たす場合に限り解をもつ： $\mu(\mathbb{S}^{n-1}) > 0$ かつ $\int_{\mathbb{S}^{n-1}} \xi \, d\mu(\xi) = 0$。
• $\mu_E$ に対するMinkowski問題の解は、$\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)^{1/(p-n)}$ の凹性および $t=0$ における一次変分の消失を用いて、平行移動を除いて一意的であることが示された。
• $p = n$ の場合、一意性の議論は、$\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)$ が真の拡大変換に対して不変であるという事実に依拠しており、不等式における等号成立から $E_0$ と $E_1$ が互いに平行移動であることが導かれる。