[論文レビュー] The Burnside problem for locally compact groups

Thibaut Dumont, Thibault Pillon|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、コンパクト生成局所コンパクト群におけるバーンサイド問題の幾何的解法を提供する。その主張は、コンパクト生成局所コンパクト群が非コンパクトであるための必要十分条件として、整数群 ℤ によるボレル（あるいは閉開）翻訳類似作用をもつことである。証明はシュナイダーによって導入された位相的翻訳類似作用の概念を用い、セワードの離散群に関する結果を局所コンパクトな設定に拡張することで、群の構造における ℤ-作用の力学的性質によって非コンパクト性を特徴づける。

ABSTRACT

Using topological notions of translation-like actions introduced by Schneider, we give a positive answer to a geometric version of Burnside problem for locally compact group. The main theorem states that a locally compact group is non-compact if and only if it admits a translation-like action by the group of integers $\mathbf Z$. We then characterize the existence of cocompact translation-like actions of $\mathbf Z$ or non-abelian free groups on a large class of locally compact groups, improving on Schneider's results and generalising Seward's.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト群の文脈において、幾何的バーンサイド問題を解決すること。
• セワードの離散群に関する結果を、局所コンパクト群の位相的設定に拡張すること。
• ℤ や非アーベル自由群による翻訳類似作用の存在を用いて、非コンパクト性を特徴づけること。
• シュナイダーの翻訳類似作用に関する結果を、コンパクト開部分群をもつユニモジュラー群におけるコアーマクト作用へ一般化すること。
• 位相的および測度論的条件（ボレル／閉開）がこのような作用の存在に与える影響を明確にすること。

提案手法

• シュナイダーが提唱した、群作用における有界なずれを特徴とする、局所コンパクト群上の翻訳類似作用の概念を採用する。
• 閉開基本領域の存在を用いて、非コンパクトでコンパクト生成な局所コンパクト群上に ℤ の翻訳類似作用を構成する。
• 群のケイリー＝アベルグラフを用いて作用をモデル化し、ずれの均一な制御を保証する。
• 幾何的群論の結果（正則な木へのリプシッツ埋め込みなど）を応用し、グラフから群への作用を上昇させる。
• コンパクト開部分群をもつユニモジュラー群の構造を活用し、ℤ や F_d のコアーマクトな翻訳類似作用を特徴づける。
• コンパクト生成局所コンパクト群の設定において、ボレル作用と閉開作用が同値であることを利用し、解析を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトでコンパクト生成な局所コンパクト群は、ℤ による翻訳類似作用をもつか？
• RQ2 そのような作用の存在が、局所コンパクト設定における非コンパクト性を特徴づけられるか？
• RQ3 どのような条件下で、局所コンパクト群が ℤ や F_d によるコアーマクトな翻訳類似作用をもつか？
• RQ4 位相的および測度論的性質（例：ボレル、閉開）は、このような作用の存在にどのように影響するか？
• RQ5 セワードの離散群に関する翻訳類似作用の結果を、局所コンパクト群の設定へどの程度一般化できるか？

主な発見

• コンパクト生成局所コンパクト群が非コンパクトであるための必要十分条件は、ℤ によるボレル（あるいは閉開）翻訳類似作用をもつことである。
• ℤ の作用は、ケイリー＝アベルグラフにおける閉開基本領域を用いて構成され、均一なずれと自由性が保証される。
• コンパクト開部分群をもつユニモジュラーでコンパクト生成な群において、ℤ によるコアーマクトな翻訳類似作用が存在するための必要十分条件は、群が高々2端点をもつことである。
• F_d（d ≥ 2）によるコアーマクトな翻訳類似作用が存在するための必要十分条件は、群が非アーベル的であることである。
• 作用は、連続的かつ固有な写像を介してケイリー＝アベルグラフから群へ上昇され、翻訳類似性が保たれる。
• この結果は、セワードの定理を位相的設定へ一般化し、シュナイダーの結果をコアーマクト性を組み込んだ形で強化する。