[論文レビュー] The Busy Beaver Competition: a historical survey

Michel Pascal|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2009

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 31被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、計算不可能な関数よりも速く成長するターミングマシンに基づく関数Σ(n)およびS(n)の歴史的概説を提供している。Σ(n,k)およびS(n,k)の記録保持マシン、下界、そしてZFC集合論からの独立性を含む計算可能性理論の基礎的結果との深い関連性が記録されている。

ABSTRACT

Tibor Rado defined the Busy Beaver Competition in 1962. He used Turing machines to give explicit definitions for some functions that are not computable and grow faster than any computable function. He put forward the problem of computing the values of these functions on numbers 1, 2, 3, ... More and more powerful computers have made possible the computation of lower bounds for these values. In 1988, Brady extended the definitions to functions on two variables. We give a historical survey of these works. The successive record holders in the Busy Beaver Competition are displayed, with their discoverers, the date they were found, and, for some of them, an analysis of their behavior.

研究の動機と目的

• ターミングマシンを用いてラドによって定義されたバジルビー関数Σ(n)およびS(n)の歴史的発展を文書化すること。
• 複数の研究者からの貢献を統合し、状態数および記号数の異なる組み合わせにおけるΣ(n,k)およびS(n,k)の下界を編纂・提示すること。
• バジルビー関数と論理的非証明可能性との関係、特にZFCのような形式的体系からの独立性を探索すること。
• バジルビー・マシンの挙動を分析すること、特にコラッツ型とは異なるダイナミクスおよび同一の挙動を示すが異なる複雑性を示すマシンのペアについて。
• ZFCにおいて停止しない挙動が証明できない具体的なターミングマシンの構成を提示し、形式的体系の限界を示すこと。

提案手法

• 1962年以降の研究成果の体系的編纂、ラド、ブレイディ、マルクセン、バントロックらの貢献を含む。
• ターミングマシンのシミュレーションおよび形式的検証を用いて、状態数および記号数の異なる組み合わせにおけるΣ(n,k)およびS(n,k)の下界を確立すること。
• 対角線法およびオракルを備えたターミングマシンを用いて、k ≥ 2 に対する高階のバジルビー関数B_k(n)を定義すること。
• ゲーデルの不完全性定理および再帰定理を活用し、停止しない挙動が論理的に証明できないマシンを構成すること。
• コルモゴロフ・コンプレックスィティを用いて、k > Σ(n(T)) といった命題が任意の整合的形式的理論Tにおいて真であるが証明できないことを示すこと。
• フリードマンのグラフ理論的命題に基づき、ZFCから独立である停止しない挙動を示す具体的なマシン記述（例：7910状態および1919状態のマシン）を編纂すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 nおよびkの小さな値に対して、バジルビー関数Σ(n,k)およびS(n,k)の既知の下界は何か？
• RQ2 バジルビー・マシンの挙動は、コラッツ型の問題のような未解決の数学的問題とどのように関係しているか？
• RQ3 特定のターミングマシンを構成することで、その停止しない挙動がZFCのような標準的な形式的体系で証明できないようにできるか？
• RQ4 高階のバジルビー関数B_k(n)は、いかに計算可能関数よりも速く成長するか、そして自然にどのように定義できるか？
• RQ5 ZFCから独立である命題をシミュレートするためのターミングマシンに必要な最小状態数は何か？

主な発見

• 論文は、Σ(1) = S(1) = 1、Σ(2) = S(2) = 4、Σ(3) = S(3) = 6、Σ(4) = S(4) = 13 であることを記録しており、リンとラド（1965年）およびブレイディ（1983年）による証明がなされている。
• n = 5の場合、最高の既知の下界はΣ(5) ≥ 4098およびS(5) ≥ 47176870であり、マルクセンとバントロックが広範なマシン探索によって達成した。
• n = 6の場合、正確な値は計算不可能なため、下界のみが知られている：Σ(6) > 10↑↑15 および S(6) > 10↑↑15。
• イェディディアとアーロンソン（2016年）が構築した7910状態のマシンは、ZFCにおいて停止しないことが証明できないため、バジルビー関数と論理的独立性の間の明確な関係を示している。
• O’Rearは後に状態数を748に削減し、ZFCから独立した非停止挙動を示すマシンを構築し、以前の構成を改善した。
• 論文は、任意の整合的形式的理論Tに対して、k > Σ(n(T)) といった命題が真であるがTで証明できないような数n(T)が存在することを確認している。これはチャイチンの不完全性定理に基づく。