[論文レビュー] The C*-algebra of a Hilbert Bimodule

Sergio Doplicher, Claudia Pinzari+1 more|ArXiv.org|Jul 19, 1997

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、C*-代数 $\mathcal{A}$ 上のヒルベルト双加群 $X$ から、Pimsnerの $C^*(X)$ の構成を一般化した $C^*$-代数 $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ を構成する。$X$ が全射的で、有限生成射影的であり、Connesスペクトルが全円周 $\mathbb{T}$ であるとき、$\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ または $C^*(X)$ が単純または素であるための条件を確立し、Cuntz-Krieger代数および交叉積の理論を拡張する。

ABSTRACT

We regard a right Hilbert C*-module X over a C*-algebra A endowed with an isometric *-homomorphism ϕ: A o L_A(X) as an object X_A of the C*-category of right Hilbert A-modules. Following a construction by the first author and Roberts, we associate to it a C*-algebra O_{X_A} containing X as a ``Hilbert A-bimodule in O_{X_A}''. If X is full and finite projective O_{X_A} is the C*-algebra C*(X), the generalization of the Cuntz-Krieger algebras introduced by Pimsner. More generally, C*(X) is canonically embedded in O_{X_A} as the C*-subalgebra generated by X. Conversely, if X is full, O_{X_A} is canonically embedded in the bidual of C*(X). Moreover, regarding X as an object A_X_A of the C*-category of Hilbert A-bimodules, we associate to it a C*-subalgebra O_{A_X_A} of O_{X_A} commuting with A, on which X induces a canonical endomorphism ρ. We discuss conditions under which A and O_{A_X_A} are the relative commutant of each other and X is precisely the subspace of intertwiners in O_{X_A} between the identity and ρon O_{A_X_A}. We also discuss conditions which imply the simplicity of C*(X) or of O_{X_A}; in particular, if X is finite projective and full, C*(X) will be simple if A is X-simple and the ``Connes spectrum'' of X is the circle.

研究の動機と目的

• Cuntz-Krieger代数の構成を、任意の $C^*$-代数上のヒルベルト双加群へ一般化すること。
• $X$ をヒルベルト $\mathcal{A}$-双加群として含み、$X$ によって誘導される自己準同型構造を捉える $C^*$-代数 $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ を定義すること。
• $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ または関連する $C^*(X)$ が単純または素であるための条件を特定すること、特に Connesスペクトル $\Gamma(X)$ または $\hat{\Gamma}(X)$ を用いて行う。

提案手法

• 右ヒルベルト $\mathcal{A}$-加群 $X$ として $X$ を定義し、$\mathcal{A} \to \mathcal{L}_{\mathcal{A}}(X)$ なる単位的 $*$-準同型 $\phi$ を用いて、$X$ をヒルベルト $\mathcal{A}$-双加群とする。
• Pimsnerの構成を一般化し、$X$ を厳密な半テンソル $C^*$-圏 $\mathcal{S}_X$ の対象と見たときの $X$ に付随する $C^*$-代数として $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ を構成する。
• $C^*(X)$ を $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ の $X$ によって生成される $C^*$-部分代数として特定し、$X$ が全射的かつ有限生成射影的であるとき、等号が成り立つことを示す。
• $\mathcal{O}_{{}_{\mathcal{A}}X_{\mathcal{A}}}$ を $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ の $\mathcal{A}$ と可換な $C^*$-部分代数として定義し、相対可換代数 $\mathcal{A}' \cap \mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ と関係づける。
• Connesスペクトル $\Gamma(X)$ および $\hat{\Gamma}(X)$ を用いて $\mathbb{T}$-不変イデアルを分析し、単純性の条件を導出する。
• 交叉積理論および $\mathbb{T}$-作用の結果を応用し、$\Gamma(X) = \mathbb{T}$ かつ $\mathcal{A}$ が $X$-単純的であり、$X$ が全射的であるとき、$C^*(X)$ または $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ が単純であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト双加群 $X$ に付随する $C^*$-代数 $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ が単純となる条件は何か？
• RQ2 Canonicalな自己準同型が $\mathcal{A}$ と $\mathcal{O}_{{}_{\mathcal{A}}X_{\mathcal{A}}}$ の間に双対性を誘導する条件は何か？
• RQ3 Connesスペクトル $\Gamma(X)$ または $\hat{\Gamma}(X)$ は、$C^*(X)$ または $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ の素性や単純性とどのように関係するか？
• RQ4 $\mathcal{O}_{{}_{\mathcal{A}}X_{\mathcal{A}}}$ が相対可換代数 $\mathcal{A}' \cap \mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ と一致するための条件は何か？
• RQ5 $C^*$-代数 $C^*(X)$ が $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ と一致する場合、およびそれが単純となる場合の条件は何か？

主な発見

• $X$ が全射的で有限生成射影的であれば、$\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ は一般化された Cuntz-Krieger代数 $C^*(X)$ と一致する。
• $X$ が全射的で、$\mathcal{A}$ が $X$-単純的であり、$\Gamma(X) = \mathbb{T}$ であるとき、$C^*(X)$ は単純である。
• $X$ が全射的で、$\hat{\Gamma}(X) = \mathbb{T}$ であるとき、$\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ は単純である。
• $\mathcal{O}_{{}_{\mathcal{A}}X_{\mathcal{A}}}$ は $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ に自然に埋め込まれ、$\mathcal{A}$ と可換であり、追加の条件下で相対可換代数と等しくなる。
• $X$ が全射的で、$\mathcal{A}$ が $X$-素であるとき、$\Gamma(X) = \mathbb{T}$ であれば、$C^*(X)$ は素である。
• $\mathcal{A}$ が $X$-単純的で、$X$ が全射的かつ有限生成射影的であるとき、$C^*(X)$ が $\mathbb{T}$-単純であるための必要十分条件は $\Gamma(X) = \mathbb{T}$ である。