[論文レビュー] The C*-algebra of symmetric words in two universal unitaries

Man-Duen Choi, Frédéric Latrémolière|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2006

Advanced Algebra and Logic参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、自由群 F₂ の生成子を入れ替える Z₂作用の固定点代数として定義される、2つのユニタリの対称語の C*-代数の K-理論を計算する。Rieffelの固定点代数と交叉積の間のモリタ同値を用い、K-理論における6項完全系列を適用することで、K₀群が Z ⊕ Z に同型であり、K₁群が自明であることが示され、対称代数における非自明なユニタリの存在に構造的障害が存在することが明らかになる。

ABSTRACT

We compute the K-theory of the C*-algebra of symmetric words in two universal unitaries. This algebra is the fixed point C*-algebra for the order-two automorphism of the full C*-algebra of the free group on two generators which switches the generators. Our calculations relate the K -theory of this C*-algebra to the K-theory of the associated C*-crossed-product by Z_2.

研究の動機と目的

• 自由群 F₂ の生成子を入れ替える Z₂作用の下での固定点代数として定義される、2つのユニタリの対称語の C*-代数の K-理論を計算すること。
• この固定点代数と C*(F₂) ⋊σ Z₂ のイデアルとの間のモリタ同値を確立すること。
• 固定点代数とそのイデアルにおける K-理論類の比較を通じて、対称 C*-代数内における非自明なユニタリの存在の障害を分析すること。
• K-理論における6項完全系列を用いて、交叉積の K-群から対称代数の K-群を導出すること。

提案手法

• 有限群作用における固定点代数と C*-交叉積の間の Rieffel のモリタ同値を活用すること。
• C*(F₂) ⋊σ Z₂ に、固定点代数 C*(F₂)₁ と強くモリタ同値であるイデアル J を構成すること。
• Cuntz による C*(F₂) ⋊σ Z₂ の K-理論計算を用いて、その K₀ 群と K₁ 群を特定すること。
• K-理論における6項完全系列を用いて、交叉積の K-理論とイデアル J を介した固定点代数の K-理論を関連付けること。
• M₂(C*(F₂)₁) 内のユニタリ Y を定義し、射影 p₂ とイデアル内に存在する射影 β 間のユニタリ同値性を実現することで、K₀類の非自明な差を示すこと。
• K-理論完全系列における指数写像を用いて、[β] - [p₂] がイデアルの K₀ を生成することを証明し、障害の非自明性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのユニタリで生成される自由群 F₂ の対称語の C*-代数の K-理論は何か？
• RQ2 固定点代数 C*(F₂)₁ の K-理論は、交叉積 C*(F₂) ⋊σ Z₂ の K-理論とどのように関係するか？
• RQ3 C*(F₂)₁ 内に非自明なユニタリが存在しない障害は何か、そしてそれは K-理論にどのように符号化されるか？
• RQ4 イデアル内の射影 β と p₂ の K-理論類の差は非自明か？
• RQ5 固定点代数 C*(F₂)₁ の K-理論は、交叉積とのモリタ同値を用いて6項完全系列により計算可能か？

主な発見

• 2つのユニタリの対称語の C*-代数の K₀群は Z ⊕ Z に同型である。
• この代数の K₁群は自明である、すなわち K₁(C*(F₂)₁) = 0 である。
• 交叉積 C*(F₂) ⋊σ Z₂ 内のイデアル J は、C*(F₂)₁ と強くモリタ同値であり、K-理論の計算を可能にする。
• イデアル I₁ の K₀ 内で [β] - [p₂] は非自明な生成子である。これは β と p₂ が C*(F₂)₁ 内でユニタリ同値でないことを示している。
• K-理論完全系列における指数写像は、[z] ∈ K₁(C(T)) を [β] - [p₂] にマップする。これにより、障害の非自明性が確認される。
• 対称代数 C*(F₂)₁ には K₁ 内に非自明なユニタリが存在しない。K₁群が消えるためであり、そのイデアル内に非自明な K₀類が存在するにもかかわらずそうなる。