[論文レビュー] The $C^*$-algebras of quantum lens and weighted projective spaces

Tomasz Brzeziński, Wojciech Szymański|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2016

Advanced Operator Algebra Research被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、量子レンズ空間および量子重み付き射影空間のC*-代数がグラフC*-代数であることを確立し、それらのK理論の明示的計算を可能にする。量子球のグラフと整数で重み付けられた巡回群作用から得られるスケイププロダクトグラフを構成することで、一般の重みについてK群を導出し、量子重み付き射影空間がK0がZ^{1+∑mi}に同型でK1が自明なAF代数であることを示している。これはややいなごまじめな互いに素条件のもとで成り立つ。

ABSTRACT

It is shown that the algebra of continuous functions on the quantum $2n+1$-dimensional lens space $C(L^{2n+1}_q(N; m_0,\ldots, m_n))$ is a graph $C^*$-algebra, for arbitrary positive weights $ m_0,\ldots, m_n$. The form of the corresponding graph is determined from the skew product of the graph which defines the algebra of continuous functions on the quantum sphere $S_q^{2n+1}$ and the cyclic group $\mathbb{Z}_N$, with the labelling induced by the weights. Based on this description, the K-groups of specific examples are computed. Furthermore, the K-groups of the algebras of continuous functions on quantum weighted projective spaces $C(\mathbb{WP}_q^n(m_0,\ldots, m_n))$, interpreted as fixed points under the circle action on $C(S_q^{2n+1})$, are computed under a mild assumption on the weights.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、量子レンズ空間および重み付き射影空間のC*-代数をグラフC*-代数として特徴づけること。
• 重みが群の位数と互いに素である必要がない条件下でも、これらの代数のK理論を計算すること。
• グラフC*-代数の枠組みを特異な量子レンズ空間へと拡張すること。
• K理論的不変量を通じて、非可換トポロジーとしての量子オルビフォールドの構造を明確にすること。
• 一般の重み条件の下での量子重み付き射影空間の構造的性質およびK理論的性質を調査すること。

提案手法

• 著者たちは、標準的グラフL2n+1を用いて、量子球のC*-代数がグラフC*-代数として同定される。
• 整数による重み付けを施したZ_N群作用を、グラフC*-代数へと拡張し、重み付きスケイププロダクトグラフL2n+1 ×cZNを定義する。
• 群作用の固定点代数が、スケイププロダクトグラフのグラフC*-代数と同型であることを示し、Crispの群作用に関するグラフC*-代数の結果を用いる。
• 構成は重みを群の位数で法とすることで行われ、互いに素でない場合の一般の重みに対しても成立する。
• K理論は、グラフ構造に関する完全系列と帰納的議論を用いて計算される。
• 量子重み付き射影空間代数とグラフC*-代数との同型関係を用いて、K群を明示的に導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の正の重みについて、量子レンズ空間C(L2n+1q(N;m0,...,mn))上の連続関数のC*-代数は、グラフC*-代数として実現可能か？
• RQ2 重みと群の位数との間の互いに素性に依存しない一様な記述が、量子重み付き射影空間のK理論に可能か？
• RQ3 重み付けされたラベルを施したスケイププロダクトグラフの構成は、量子球上の円作用の固定点代数をどのように捉えているか？
• RQ4 各重みについて、それより前の重みと互いに素なものが存在する条件下で、量子重み付き射影空間のK理論はいかなるものか？
• RQ5 グラフC*-代数の枠組みは、特異的（非自由）な場合の量子オルビフォールドのK0およびK1群の計算に用いられるか？

主な発見

• 任意の正の重みm0,...,mnについて、量子レンズ空間C(L2n+1q(N;m0,...,mn))上の連続関数のC*-代数は、グラフC*-代数と同型である。
• 各j ≥1について、i < jでgcd(mi,mj)=1を満たすものがあるという条件下で、量子重み付き射影空間C(WPnq(m0,...,mn))のK0群はZ^{1+∑_{i=0}^n mi}に同型である。
• 同じ代数のK1群は消える、すなわちK1(C(WPnq(m))) = 0である。
• 量子重み付き射影直線WP1q(m0,m1)について、代数はAF代数であり、K0 ≅ Z^{1 + m1/gcd(m0,m1)}かつK1 = 0である。
• 短完全系列0 → K_{m1/gcd(m0,m1)} → C(WP1q(m)) → C → 0が成り立つことから、AF構造が確認される。
• 同型関係C(WPnq(m)) ≅ C*(L2n+1)̺mを用いることで、完全系列とイデアル構造の解析を経て、K理論の帰納的計算が可能になる。