[論文レビュー] The C$^*$-envelope of a semicrossed product and nest representations

Justin R. Peters|ArXiv.org|Sep 19, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、$ X $ をコンパクトなハウスドルフ空間とし、$ \varphi: X \to X $ を連続な全射とするとき、半交叉積代数 $ C(X) \rtimes_\varphi \mathbb{Z}^+ $ のC*-包絡が、$ (X, \varphi) $ の標準的最小ホメオモルフィズム拡張 $ (\tilde{X}, \tilde{\varphi}) $ に対応する交叉積 $ C(\tilde{X}) \rtimes_{\tilde{\varphi}} \mathbb{Z} $ に同型であることを確立する。この結果により、非自己随伴作用素代数のC*-包絡が常に交叉積であることが示され、自己同型の場合に既知であった結果が一般化される。

ABSTRACT

Let $X$ be compact Hausdorff, and $ϕ: X o X$ a continuous surjection. Let $\mathcal{A}$ be the semicrossed product algebra corresponding to the relation $fU = Uf\circ ϕ$. Then the C$^*$-envelope of $\mathcal{A}$ is the crossed product of a commutative C$^*$-algebra which contains $C(X)$ as a subalgebra, with respect to a homeomorphism which we construct. We also show there are``sufficiently many'' nest representations.

研究の動機と目的

• 半交叉積代数 $ C(X) \rtimes_\varphi \mathbb{Z}^+ $ のC*-包絡がいつ交叉積に同型になるかを特定すること。
• コンパクトなハウスドルフ空間 $ X $ および連続な全射 $ \varphi $ に対する半交叉積 $ C(X) \rtimes_\varphi \mathbb{Z}^+ $ のC*-包絡を特徴づけること。
• 半交叉積のC*-包絡が逆極限空間 $ \tilde{X} $ と拡張されたホメオモルフィズム $ \tilde{\varphi} $ による交叉積として実現されることを示すこと。
• 半交叉積代数におけるノルムを計算するために、ネスト表現が十分であることを確立すること。

提案手法

• コンパクトなハウスドルフ空間である $ \tilde{X} = \{ (x_1, x_2, \dots) \in \prod_{n=1}^\infty X \mid x_n = \varphi(x_{n+1}) \} $ を構成する。
• 座標のシフトにより $ \tilde{X} $ 上にホメオモルフィズム $ \tilde{\varphi} $ を定義する：$ \tilde{\varphi}(x_1, x_2, \dots) = (\varphi(x_1), x_1, x_2, \dots) $。
• $ C(X) $ を $ C(\tilde{X}) $ に埋め込むことにより、半交叉積 $ C(X) \rtimes_\varphi \mathbb{Z}^+ $ を交叉積 $ C(\tilde{X}) \rtimes_{\tilde{\varphi}} \mathbb{Z} $ に完全等長に埋め込む。
• 集合 $ \bigcup_{k=0}^\infty \tilde{\alpha}^{-k}(C(X)) $ が生成する $ \tilde{\alpha}^{-k} $-不変な稠密な部分代数を用いて、半交叉積の像が交叉積における稠密な部分代数を生成することを示す。
• 稠密な部分代数上のノルム推定を用いた背理法により、交叉積からC*-包絡への任意の $ \ast $-ホモモルフィズムが単射であることを示し、したがって同型であることを証明する。
• 半交叉積代数に属する任意の元のノルムが、その等長共変ネスト表現による像のノルムの上界に等しいことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続な全射 $ \varphi $ を持つコンパクトなハウスドルフ空間 $ X $ に対して、半交叉積 $ C(X) \rtimes_\varphi \mathbb{Z}^+ $ のC*-包絡は常に交叉積に同型になるか？
• RQ2 半交叉積のC*-包絡は、可換C*-代数とホメオモルフィズムによる交叉積として実現可能か？
• RQ3 標準的ホメオモルフィズム拡張 $ (\tilde{X}, \tilde{\varphi}) $ は、C*-包絡を実現するために果たす役割は何か？
• RQ4 ネスト表現は、半交叉積代数におけるノルムを計算するために十分か？
• RQ5 どのような力学的条件下で、半交叉積のC*-包絡は単純になるか？

主な発見

• 半交叉積 $ C(X) \rtimes_\varphi \mathbb{Z}^+ $ のC*-包絡は、逆極限空間 $ \tilde{X} $ とシフト写像 $ \tilde{\varphi} $ に対応する交叉積 $ C(\tilde{X}) \rtimes_{\tilde{\varphi}} \mathbb{Z} $ に同型である。
• 埋め込み $ C(X) \rtimes_\varphi \mathbb{Z}^+ \hookrightarrow C(\tilde{X}) \rtimes_{\tilde{\varphi}} \mathbb{Z} $ は完全等長である。
• 集合 $ \bigcup_{k=0}^\infty \tilde{\alpha}^{-k}(\mathcal{A}) $ は、$ C(\tilde{X}) \rtimes_{\tilde{\varphi}} \mathbb{Z} $ の稠密な部分代数である。ここで $ \mathcal{A} = C(X) \rtimes_\varphi \mathbb{Z}^+ $ である。
• 任意の $ \mathcal{A} $ に属する元のノルムは、そのすべての等長共変ネスト表現による像のノルムの上界に等しい。
• C*-包絡 $ C(\tilde{X}) \rtimes_{\tilde{\varphi}} \mathbb{Z} $ が単純であれば、元の半交叉積 $ C(X) \rtimes_\varphi \mathbb{Z}^+ $ は半単純である。
• C*-包絡の単純性は、力学系 $ (\tilde{X}, \tilde{\varphi}) $ の最小性と同値であり、さらにそれは $ (X, \varphi) $ の最小性と同値である。