[論文レビュー] The Calder\'on problem for quasilinear elliptic equations

Claudio Muñoz, Günther Uhlmann|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、電位 $ s $ とその勾配 $ p $ に対して非線形に依存する導電率係数 $ a(x, s, p) $ に対して、準線形カルデロン問題における一意性を確立している。この方法は境界テスト関数を用いた複素解析的線形化とDNマップの解析接続に依拠し、$ \mathbb{C}^{n+1} $ における解析関数の唯一性拡張による議論により、DNマップの等しさが導電率係数の等しさを示すことを証明する。

ABSTRACT

In this paper we show uniqueness of the conductivity for the quasilinear Calder\'on's inverse problem. The nonlinear conductivity depends, in a nonlinear fashion, of the potential itself and its gradient. Under some structural assumptions on the direct problem, a real-valued conductivity allowing a small analytic continuation to the complex plane induces a unique Dirichlet-to-Neumann (DN) map. The method of proof considers some complex-valued, linear test functions based on a point of the boundary of the domain, and a linearization of the DN map placed at these particular set of solutions.

研究の動機と目的

• 導電率係数 $ a(x, s, p) $ が電位 $ s $ とその勾配 $ \nabla u $ に依存する非線形な場合に、Dirichlet-to-Neumann (DN) マップからその回復 inverse problem を解くこと。
• 従来の線形的かつ等方的逆導電率問題の結果を、$ a $ が $ x $, $ u $, および $ \nabla u $ に依存する完全な準線形ケースに拡張すること。
• 導電率および直接問題に対する最小限の構造的仮定のもとで一意性を確立すること。
• 非線形性と勾配依存性に対処するため、複素数値解と解析接続に基づく新しい手法を開発すること。

提案手法

• 境界点源に基づく複素数値解 $ u_{s,p} $ を導入し、$ s \in \mathbb{R} $ および $ p \in \mathbb{C}^n $ をパrameterとして用いてDNマップを線形化する。
• 複素数 $ p $ に対して拡張されたDNマップ $ \tilde{\Gamma}_{a,s,p} $ を定義し、$ (s,p) \in \mathbb{R} \times A(r_0) $ において解析的であることを保証し、解析接続を可能にする。
• 線形化されたDNマップ $ \tilde{\Gamma}^\ell_{a,s,p} $ が $ (s,p) $ に関して解析的であることに着目し、リーマンの第二拡張定理を用いて、低次元な解析的部分集合からの等しさを拡張する。
• 導電率 $ a $ が原点近傍で解析的であることと、DNマップが $ a $ に対して解析的に依存することを根拠に、実数パラメータから複素数パラメータへの等しさを伝播させる。
• $ \mathbb{C}^{n+1} $ における解析関数の唯一性拡張性を応用し、複素解析的部分多様体上で等しいことから、$ a_1 $ と $ a_2 $ の全域での等しさを結論づける。
• 摂動論を用いて準線形問題を線形化されたDNマップに還元し、DNマップの等しさがそれらの線形化の等しさを示すことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DNマップは、電位 $ s $ とその勾配 $ p $ に非線形に依存する準線形導電率 $ a(x, s, p) $ を一意に特定できるか？
• RQ2 逆問題の可解性と一意性を保証するため、$ a $ や直接問題に必要な構造的仮定は何か？
• RQ3 複素解析的手法を用いて、実数値逆問題の結果を準線形ケースに拡張することは可能か？
• RQ4 解析接続技術を用いて、DNマップから $ a(x, s, p) $ を全域的に回復することは可能か？
• RQ5 導電率 $ a $ の非線形性および勾配依存性は、標準的な線形化手法を妨げる程度に深刻な障害をもたらすか？

主な発見

• 二つの導電率 $ a_1 $ と $ a_2 $ がすべての実数値境界データに対して同一のDNマップをもたらすならば、原点近傍の $ \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n $ 内で $ a_1 \equiv a_2 $ であることを、解析的および構造的仮定のもとで証明した。
• 鍵となるステップは、線形化されたDNマップ $ \tilde{\Gamma}^\ell_{a,s,p} $ が $ (s,p) \in \mathbb{R} \times A(r_0) $ において解析的であることを示し、実軸から複素領域への解析接続を可能にすることである。
• 実数境界データ上でDNマップが等しいことは、複素解析的拡張 $ \tilde{\Gamma}_{a,s,p} $ の等しさを意味し、これにより線形化されたDNマップの等しさが導かれる。
• リーマンの第二拡張定理を用いて、$ \mathbb{C}^{n+1} $ 内で余次元2の集合から、全領域 $ \mathbb{R} \times B_{r_0}(0) $ への $ a_1 $ と $ a_2 $ の等しさが拡張される。
• 導電率 $ a $ が原点近傍で実解析的であり、直接問題の解の存在性と一意性を保証する標準的な構造的条件を満たす限り、この結果は成り立つ。
• DNマップを用いた積分公式、例えば $ a(0,p) = \lim_{\theta \to 0} \int_\theta^1 \cdots d\eta $ により、$ a $ の構成的回復が可能である。