[論文レビュー] The Calder\'on-Zygmund inequality and Sobolev spaces on noncompact Riemannian manifolds

Batu Güneysu, Stefano Pigola|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、非コンパクトなリーマン多様体上での Calderón-Zygmund 不等式を導入し、体系的に研究しており、Lp 空間における不等式の成立に十分な幾何的条件——例えば有界なリッチ曲率と正の注入半径——を確立している。主な貢献は、これらの条件下で2階ソボレフ空間が適切に振る舞うことを示したことであり、稠密性、正則性、勾配推定への応用が含まれる。

ABSTRACT

We introduce the concept of Calder\'on-Zygmund inequalities on Riemannian manifolds. For $1<p<\infty$, these are inequalities of the form $$ \left\Vert \mathrm{Hess}\left( u ight) ight\Vert _{L^p}\leq C_{1}\left\Vert u ight\Vert _{L^p}+C_{2}\left\Vert \Delta u ight\Vert _{L^p}, $$ valid a priori for all smooth functions $u$ with compact support, and constants $C_1\geq 0$, $C_2>0$. Such an inequality can hold or fail, depending on the underlying Riemannian geometry. After establishing some generally valid facts and consequences of the Calder\'on-Zygmund inequality (like new denseness results for second order $\mathsf{L}^p$-Sobolev spaces and gradient estimates), we establish sufficient geometric criteria for the validity of these inequalities on possibly noncompact Riemannian manifolds. These results in particular apply to many noncompact hypersurfaces of constant mean curvature.

研究の動機と目的

• 非コンパクトなリーマン多様体上での Calderón-Zygmund 不等式を定義・分析し、2階 Lp-ソボレフ空間理論の統合的ツールとしての役割を果たす。
• H2,p(M) における滑らかでコンパクトな台を持つ関数の稠密性に関する未解決問題と、ポisson方程式の解の正則性に関する問題を解決する。
• 不等式の有効性を保証する十分な幾何的基準——例えば有界なリッチ曲率と正の注入半径——を確立する。
• 不等式が勾配推定や Rellich-Kondrachov 型の議論におけるコンパクト性といった主要な解析的道具を示すことを証明する。
• 不等式がコンパクトな摂動や多様体の接合に対して安定していることを示す。

提案手法

• すべての u ∈ C∞c(M) に対して ∥Hess(u)∥Lp ≤ C1∥u∥Lp + C2∥Δu∥Lp を満たす Calderón-Zygmund 不等式を導入し、C1 ≥ 0、C2 > 0 とする。
• 2階のカットオフ関数（ヘッセ形式およびラプラシアン）を用いて、ソボレフ空間の稠密性と正則性に関する帰結を導出する。
• Lp-補間技術を適用し、CZ(p) が勾配推定 ∥grad(f)∥Lp ≤ C(∥Δf∥Lp + ∥f∥Lp) を示すことを証明する。
• 境界が滑らかで相対的にコンパクトな領域において、C1 = 0 の条件下で CZ(p) の局所的有効性を示し、Lp-補間を用いた接合により構築する。
• 楕円的推定と調和半径の境界（定理 1.2 のため）および共変リーマン変換の深い有界性結果（定理 1.3 のため）を組み合わせて、グローバルな結果を証明する。
• 調和座標と計量テンソルの Ck,α 評価を用いて、曲率と注入半径を制御し、調和半径の下界を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトなリーマン多様体上で、1 < p < ∞ に対して Lp における Calderón-Zygmund 不等式が成立するための幾何的条件は何か？
• RQ2 Calderón-Zygmund 不等式の定数は、曲率や注入半径にどのように依存するか？
• RQ3 Calderón-Zygmund 不等式は、C∞c(M) が H2,p(M) に稠密であることにどのような影響を与えるか？
• RQ4 Calderón-Zygmund 不等式を用いて、ソボレフ空間における勾配推定やコンパクト性の性質を導くことができるか？
• RQ5 Calderón-Zygmund 不等式は、コンパクトな摂動や多様体の接合に対して安定しているか？

主な発見

• 測地的に完全で曲率テンソルが有界な多様体では、正の注入半径がなくても、すべての 1 < p < ∞ に対して H2,p0(M) = H2,p(M) が成り立つ。
• M が有界なリッチ曲率と正の注入半径を持つならば、CZ(p) は、次元 M、p、∥Ric∥∞、および注入半径にのみ依存する定数を用いて成立する。
• 1 < p ≤ 2 に対して、M が1階有界幾何構造を持ち、体積成長条件 vol(Btr(x)) ≤ D t^δ r^δ vol(Br(x))（t ≥ 1）を満たすならば、CZ(p) は、次元 M、p、∥R∥∞、∥∇R∥∞、D、δ にのみ依存する定数を用いて成立する。
• 十分に小さな測地的球では、CZ(p) は、半径、次元 M、p、および調和半径の下界にのみ依存する定数を用いて成立する。
• Calderón-Zygmund 不等式は、コンパクトな摂動、特にコンパクト境界を持つ多様体の接合に対しても安定している。
• p = 2 の場合、下からのリッチ曲率の下界 Ric ≥ −C が成り立てば、Bochner の恒等式を用いて、明示的な定数が C に依存するより強い無限小版の CZ(2) が成立する。