[論文レビュー] The Calogero-Moser partition and Rouquier families for complex reflection groups

Maurizio Martino|ArXiv.org|Jan 10, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、複素反射群の既約表現のCalogero-Moser分割と、巡回的ヘッケ代数におけるRouquier族の間の予想を提示する。著者は、$G(l,1,n) = \mathbb{Z}/l\mathbb{Z} \wr S_n$ のワーレン積について、Rouquier族がCalogero-Moser分割を細分することを示し、ブロックサイズの幾何的解釈と、べき級数への剰余条件を介した高次のフォック空間への接続を提供する。

ABSTRACT

Let $W$ be a complex reflection group. We formulate a conjecture relating blocks of the corresponding restricted rational Cherednik algebras and Rouquier families for cyclotomic Hecke algebras. We verify the conjecture in the case that $W$ is a wreath product of a symmetric group with a cyclic group of order $l$.

研究の動機と目的

• 複素反射群のための、制限された有理Cherednik代数（Calogero-Moser分割）のブロックと、巡回的ヘッケ代数におけるRouquier族との間の予想を提示すること。
• ワーレン積 $G(l,1,n) = \mathbb{Z}/l\mathbb{Z} \wr S_n$ の場合に、この予想を検証すること。
• 各Rouquierブロックのサイズについて、べき級数への剰余条件を用いた幾何的解釈を提供すること。
• Calogero-Moser分割を、$U_v(\mathfrak{sl}_\infty)$ の高次のフォック空間表現との間の組合せ的不変量を介して結びつけること。

提案手法

• 有理Cherednik代数 $H_{\mathbf{k}}$ の有限次元商として、制限された有理Cherednik代数 $\overline{H}_{\mathbf{k}}$ を定義し、そのブロックが $\mathrm{Irr}W$ のCalogero-Moser分割を定義することを示す。
• $H_{\mathbf{k}} \cong H_{\lambda\mathbf{k}}$ の同型を用いてパラメータを正規化し、Calogero-Moser分割の解析を簡略化する。
• Rouquier族と多重分岐分割の $J$-ハートとの間の組合せ的対応を、べき級数 $\mathrm{Res}^{\overline{\mathbf{m}}}_{\boldsymbol{\lambda}}(x^d)$ における剰余条件を用いて確立する。
• $\boldsymbol{\lambda} \sim_{R_{\mathbf{m}}} \boldsymbol{\mu}$ が成り立つことと、 $\mathrm{Res}^{\overline{\mathbf{m}}}_{\boldsymbol{\lambda}}(x^d) = \mathrm{Res}^{\overline{\mathbf{m}}}_{\boldsymbol{\mu}}(x^d)$ が成り立つことが同値であることを、 $x^k\mathbb{Z}[x^d,x^{-d}]$ 成分への射影を用いて証明する。
• 等しい $J$-ハートが $\boldsymbol{\lambda} \sim_{CM_{\mathbf{h}}} \boldsymbol{\mu}$ を意味することを、定理3.9を用いて示し、パラメータスケーリングを用いて $CM_{\mathbf{h}}$ と $CM_{d\mathbf{h}}$ の分割を関連付ける。
• Calogero-Moser分割を、$U_v(\mathfrak{sl}_\infty)$ の高次のフォック空間 $F(\Lambda_{\mathbf{m}})$ における基底ベクトル $s_{\boldsymbol{\lambda}}$ の重みと結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素反射群において、Rouquier族の分割がCalogero-Moser分割を細分するか？
• RQ2 各Rouquierブロックのサイズは、べき級数への剰余条件を用いた幾何的解釈で与えられるか？
• RQ3 Calogero-Moser分割と、高次のフォック空間表現におけるベクトルの重みとの間に接続はあるか？
• RQ4 この予想はワーレン積 $G(l,1,n)$ において成り立つか？もしそうなら、その背後にある組合せ的メカニズムは何か？
• RQ5 パラメータ $\mathbf{k}$ と $\mathbf{m}$ は、Cherednik代数とヘッケ代数の両設定におけるブロック構造とどのように関係するか？

主な発見

• ワーレン積 $G(l,1,n)$ について、Rouquier族がCalogero-Moser分割を細分するという予想が、明示的な組合せ的比較により検証された。
• 二つの多重分岐分割 $\boldsymbol{\lambda}, \boldsymbol{\mu} \in \mathcal{P}(l,n)$ が同じRouquier族に属するための必要十分条件は、 $\mathrm{Res}^{\overline{\mathbf{m}}}_{\boldsymbol{\lambda}}(x^d) = \mathrm{Res}^{\overline{\mathbf{m}}}_{\boldsymbol{\mu}}(x^d)$ である。
• $G(l,1,n)$ におけるCalogero-Moser分割は、$U_v(\mathfrak{sl}_\infty)$ の高次のフォック空間 $F(\Lambda_{\mathbf{m}})$ における基底ベクトルの重みへの分割と一致する。
• 多重分岐分割の $J$-ハートは、そのCalogero-Moserブロックを決定し、等しい $J$-ハートは $CM_{\mathbf{h}}$ におけるブロック同値性を意味する。
• パラメータスケーリング性 $\overline{H}_{\mathbf{k}} \cong \overline{H}_{d\mathbf{k}}$ により、 $\boldsymbol{\lambda} \sim_{CM_{\mathbf{h}}} \boldsymbol{\mu}$ であることと $\boldsymbol{\lambda} \sim_{CM_{d\mathbf{h}}} \boldsymbol{\mu}$ であることが同値であることが示された。
• 各Rouquierブロックの幾何的サイズは、同じ剰余条件 $\mathrm{Res}^{\overline{\mathbf{m}}}_{\boldsymbol{\lambda}}(x^d)$ を満たす多重分岐分割の個数によって決定される。