[論文レビュー] The canonical complex of the weak order

Doriann Albertin, Vincent Pilaud|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2021

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、有限の半分配的ラティスの正規複体を導入し、区間を独立な結合および畳み込み表現の直和で符号化するフラッグ単体的複体を提示する。この複体がラティス商に関してうまく振る舞うことを確立し、半交叉弧双図を用いた置換の弱順序の組合せ的モデルを提供する。弱順序区間順序集合との明示的双対写像を提示し、弧図を用いた商におけるKreweras写像のアルゴリズム的記述も与える。

ABSTRACT

We define and study the canonical complex of a finite semidistributive lattice $L$. It is the simplicial complex on the join or meet irreducible elements of $L$ which encodes each interval of $L$ by recording the canonical join representation of its bottom element and the canonical meet representation of its top element. This complex behaves properly with respect to lattice quotients of $L$, in the sense that the canonical complex of a quotient of $L$ is the subcomplex of the canonical complex of $L$ induced by the join or meet irreducibles of $L$ uncontracted in the quotient. We then describe combinatorially the canonical complex of the weak order on permutations in terms of semi-crossing arc bidiagrams, formed by the superimposition of two non-crossing arc diagrams of N. Reading. We provide explicit direct bijections between the semi-crossing arc bidiagrams and the weak order interval posets of G. Ch\^atel, V. Pilaud and V. Pons. Finally, we provide an algorithm to describe the Kreweras maps in any lattice quotient of the weak order in terms of semi-crossing arc bidiagrams.

研究の動機と目的

• 有限の半分配的ラティスの正規複体を定義・研究し、すべての区間を正規結合および畳み込み表現によって符号化する。
• ラティス商の正規複体が、元のラティスの非収縮結合および畳み込み不可約要素によって誘導される部分複体に同型であることを確立する。
• 置換の弱順序の正規複体を、半交叉弧双図を用いた組合せ的モデルとして提示する。
• 半交叉弧双図と弱順序区間順序集合との間で明示的かつ直接的な双対写像を確立する。
• 任意の弱順序の商におけるKreweras写像を計算するアルゴリズムを開発する。

提案手法

• 正規結合および畳み込み表現の互いに素な直和が結合・畳み込み順序条件を満たすように、頂点が結合および畳み込み不可約要素の直和であるフラッグ単体的複体として正規複体を定義する。
• ラティス商理論を用いて、商ラティスの正規複体が、非収縮不可約要素上での誘導部分複体に一致することを示す。
• 置換の弱順序の正規複体を、2つの非交差弧図の組としてモデル化する。ただし、2つの図間の交差は制限されている。
• 弧に基づく順序と極端な被覆関係を用いて、半交叉弧双図と弱順序区間順序集合との直接的な双対写像を確立する。
• 部分弧順序と上部イデアルを用いて弱順序の商を記述し、弧の弱順序を用いて最小代表元を計算する。
• 特定の上部イデアル内に2つの部分弧に分解可能な弧を除いた弧の集合において、最大の要素を特定することで、任意の商におけるKreweras写像を計算するアルゴリズムを開発する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限の半分配的ラティスの区間を、ラティス商を尊重する1つの単体的複体に符号化する方法は何か？
• RQ2 置換の弱順序の正規複体の組合せ的構造は何か？
• RQ3 半交叉弧双図は、Châtel、Pilaud、Ponsが定義した弱順序区間順序集合とどのように関係するか？
• RQ4 任意の弱順序の商におけるKreweras写像を、弧図を用いてアルゴリズム的に計算できるか？
• RQ5 部分弧順序と上部イデアルは、弧図を用いた弱順序の商の特徴付けにおいて果たす役割は何か？

主な発見

• 有限の半分配的ラティスの正規複体は、フラッグ単体的複体であり、その単体は正規結合および畳み込み表現の互いに素な直和によって区間に対応する。
• ラティス商の正規複体は、元のラティスの非収縮結合および畳み込み不可約要素によって誘導される部分複体と同型である。
• 弱順序の正規複体は、2つの非交差弧図の組としてモデル化され、2つの図間の交差が制限された半交叉弧双図によって組合せ的に表現される。
• 半交叉弧双図と弱順序区間順序集合との間には、明示的かつ直接的な双対写像が存在し、両者とも弱順序における区間を分類する。
• 任意の弱順序の商におけるKreweras写像は、特定の上部イデアル内に2つの部分弧に分解可能な弧を除いた弧の集合において、最大の要素を特定するアルゴリズムによって計算可能である。
• このアルゴリズムは、非交差分割における古典的Kreweras補完を、任意の弱順序の商へ一般化し、弧図の分解と極端な被覆関係を用いる。