[論文レビュー] The Capacity of Quantum Channel with General Signal States

A. S. Holevo|ArXiv.org|Nov 14, 1996

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 79

ひとこと要約

この論文は、純状態または混合状態を含む任意の量子信号状態を持つ古典的量子チャネルの正確な容量を、入力確率分布の上でのエントロピー境界の最大値に等しいことを証明することで確立する。Hausladen らの純状態に対する結果をもとに、典型部分空間と確率的符号化技術を用いて一般の混合状態に拡張した証明を行い、容量が $ C = \max_{\pi} \left[ H\left(\sum_i \pi_i S_i \right) - \sum_i \pi_i H(S_i) \right] $ で与えられることを確認した。これにより、量子チャネル容量の基礎的特徴付けが完成する。

ABSTRACT

It is shown that the capacity of a classical-quantum channel with arbitrary (possibly mixed) states equals to the maximum of the entropy bound with respect to all apriori distributions. This completes the recent result of Hausladen, Jozsa, Schumacher, Westmoreland and Wooters, who proved the equality for the pure state channel.

研究の動機と目的

• 純状態に限った既知の結果を、任意（おそらく混合）の信号状態にまで拡張することで、量子チャネル容量の特徴付けにおける空白を埋めること。
• エントロピー境界が上界であるだけでなく、達成可能であることを確立することで、一般の量子チャネルにおける正確な容量式を確認すること。
• 入力状態が混合であっても、典型部分空間と確率的符号化を用いた厳密な証明を提供すること。

提案手法

• 平均状態 $ \bar{S} $ における期待値に近い固有値に射影するスペクトル射影を用いて、密度作用素の典型部分空間を定義し、$ \bar{S}^{\otimes n} $ のための量子典型部分空間を構築する。
• 純状態の場合に開発された典型部分空間射影技術の修正版を用い、固有値の集中に基づく典型集合を定義することで、混合状態の状況に対処する。
• 確率的符号化を用いる：入力語 $ u $ を分布 $ \pi $ に従って独立に選択し、符号語の平均状態が $ \bar{S}^{\otimes n} $ に収束することを保証する。
• トレース不等式と典型射影 $ P $ の性質を用いて、平均誤り確率 $ \mathbb{E}[P_{\text{er}}] $ の上界を導出し、符号化レートがエントロピー境界を下回る場合に指数関数的に減少することを示す。
• 積状態におけるヴォイナム・エントロピーの加法性とエントロピーの劣加法性を用いて、容量式に現れるエントロピー差 $ \Delta H(\pi) $ をバウンドする。
• 誤り確率の上界と典型部分空間の漸近的性質を組み合わせることで、$ \max_\pi \Delta H(\pi) $ より小さいレートが達成可能であることを示し、逆不等式の証明を完成させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 信号状態が純状態に限らない、任意の（おそらく混合の）量子状態である場合、古典的量子チャネルの正確な容量は何か？
• RQ2 エントロピー境界 $ \max_\pi \left[ H(\sum_i \pi_i S_i) - \sum_i \pi_i H(S_i) \right] $ は、一般の信号状態においてもチャネル容量として達成可能か？
• RQ3 以前の研究で純状態の場合に観察されたチャネル容量の超加法性は、信号状態が混合状態である場合にも成立するか？また、典型部分空間技法を用いてそれを証明できるか？

主な発見

• 任意の信号状態を持つ古典的量子チャネルの容量は、すべての入力分布 $ \pi $ におけるエントロピー境界の最大値に正確に等しく、すなわち $ C = \max_\pi \left[ H(\sum_i \pi_i S_i) - \sum_i \pi_i H(S_i) \right] $ である。
• 証明により、エントロピー境界が上界であるだけでなく、漸近的に達成可能であることが確認され、量子チャネル容量の特徴付けが完成した。
• 符号化レートが $ \max_\pi \Delta H(\pi) $ より小さい場合、確率的符号の誤り確率は指数関数的に減少する。これは、この値が実際に容量であることを示唆する。
• Hausladen らの純状態に対する以前の結果を一般の混合状態にまで拡張し、有限次元入力状態を持つすべての量子チャネルに対して、容量式が普遍的に成り立つことを示した。
• 典型部分空間法は、$ \bar{S}^{\otimes n} $ の固有値の集中に基づく典型集合を定義することで、混合状態に対しても成功裏に適応可能であることが示され、誤り解析が可能になった。
• 積状態におけるエントロピーの加法性を用いて、容量式に現れるエントロピー差 $ \Delta H(\pi) $ の加法性を証明した。これは、容量式の証明において不可欠な要素である。