[論文レビュー] The cardinality of the sublattice of closed ideals of operators between certain classical sequence spaces

Daniel Freeman, Thomas Schlumprecht+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2020

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$1 < p < \infty$ における $\varepsilon_p$, $\mathrm{c}_0$, および $\ell_p, \ell_\infty$ 上の閉作用素イデアルの束の濃度が $2^{2^\omega}$ に達することを確立している。これは、従来の結果が $2^\omega$ のみを示していたのを著しく拡張したものである。著者らは、$\mathbb{N}$ のほとんど互いに素な部分集合によってインデックス付けされた作用素の族を構成し、各部分集合が異なる閉イデアルを生成することを示した。これにより、イデアル束の最大濃度が達成された。

ABSTRACT

Theorem A and Theorem B of [1] state that for $1

研究の動機と目的

• $\mathcal{L}(\ell_p, \mathrm{c}_0)$, $\mathcal{L}(\ell_p, \ell_\infty)$, および $\mathcal{L}(\ell_1, \ell_p)$ の閉作用素イデアルの束の正確な濃度を $1 < p < \infty$ に対して特定すること。
• 既存の結果（少なくとも $2^\omega$ 個の閉イデアルを示す）を、最良の境界 $2^{2^\omega}$ まで拡張すること。
• それぞれの部分集合が異なる閉イデアルを生成するような作用素の族を構成し、イデアル束の最大濃度を保証すること。
• 双対性および埋め込み技術を用いて、$\mathrm{VMO}$ や $H_1$ を含む関連空間へ結果を拡張すること。

提案手法

• スケーリングされたRIP行列を用いて、有限次元空間 $\ell_2^{u_n}$ と $\ell_\infty^{v_n}$ 間の一様有界な作用素列 $(T_n)$ を構成する。
• $M \subset \mathbb{N}$ における座標への標準的射影を介して、$\ell_2^{u_n}$ の $\ell_p$-和と $\ell_\infty^{v_n}$ の $\mathrm{c}_0$-和上のグローバル作用素 $T_M$ を定義する。
• 無限でほとんど互いに素な $M, N$ に対して、$M \setminus N$ が無限であるとき $T_M \notin \mathcal{J}^{T_N}(U,V)$ であるという性質を用い、イデアルの分離を保証する。
• 機能解析的議論を適用：$\Phi(T_M) = 1$ かつ $\Phi|_{\mathcal{J}^{T_N}(U,V)} = 0$ を満たす $\Phi \in \mathcal{L}(U,V)^*$ を構成し、$\mathrm{dist}(T_M, \mathcal{J}^{T_N}) \geq 1$ を示す。
• $V \to W$ への同型埋め込み $J: V \to W$ を用いて、一般のバナッハ空間 $W$（$\mathrm{c}_0$ を含む）へ結果を拡張し、距離推定値に定数 $c = \|J^{-1}\|^{-1}$ を保つ。
• $\mathbb{N}$ のほとんど互いに素な無限部分集合の族 $\mathcal{C}$（濃度 $2^\omega$）を用い、$\mathcal{A} \subset \mathcal{C}$ に対して $\mathcal{J}^{\mathcal{T}(\mathcal{A})}(U,W)$ を用いて、$2^{2^\omega}$ 個の異なる閉イデアルを生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $1 < p < \infty$ に対して、$\mathcal{L}(\ell_p, \mathrm{c}_0)$ 上の閉作用素イデアルの束の正確な濃度は何か？
• RQ2 [1] で提示された作用素の構成を精緻化することで、$2^{2^\omega}$ 個の異なる閉イデアルを生成できるか？
• RQ3 ほとんど互いに素な集合によってインデックス付けられた作用素の分離性は、生成される閉イデアルの相異なる性質を示唆するか？
• RQ4 この結果は、他の古典的列空間およびそれらの作用素イデアルへどの程度拡張可能か？
• RQ5 ハーディー空間 $H_1$ 及びその双対空間 $\mathrm{VMO}$ に対しても、$2^{2^\omega}$ 個の閉作用素イデアルが存在するか？

主な発見

• $1 < p < \infty$ に対して、$\mathcal{L}(\ell_p, \mathrm{c}_0)$ 上の閉イデアルの束の濃度は正確に $2^{2^\omega}$ である。
• $V \cong \mathrm{c}_0$ かつ $U \sim \ell_p$ であるため、$\mathcal{L}(\ell_p, \ell_\infty)$ の場合にも同様に、濃度は $2^{2^\omega}$ である。
• $\mathcal{L}(\ell_1, \ell_p)$ の場合、双対性の議論により、閉イデアルの束の濃度も $2^{2^\omega}$ であることが示された。
• ほとんど互いに素な部分集合 $M \subset \mathbb{N}$ によってインデックス付けされた作用素 $T_M$ の構成により、各部分集合が異なる閉イデアルを生成することが保証された。
• $M \setminus N$ が無限であるとき、$\mathrm{dist}(J \circ T_M, \mathcal{J}^{T_N}(U,W)) \geq c$（$c = \|J^{-1}\|^{-1}$）であるという距離推定により、イデアルの分離が確認された。
• $\mathcal{L}(\mathrm{VMO})$ 及び $\mathcal{L}(H_1)$ に対しても結果は拡張可能であり、両者ともそれぞれ $\mathrm{c}_0$ と $\ell_1$ の補完的コピーを含むため、$2^{2^\omega}$ 個の閉イデアルが存在する。