[論文レビュー] The case against asymptotic freedom

Erhard Seiler|ArXiv.org|Dec 1, 2003

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、非アーベルゲージ理論における漸近的自由性の広く受け入れられている概念に挑戦し、主に2次元O(N)スピン模型からの解析的・数値的証拠を提示する。これは連続極限が有限で非ゼロの結合定数で生じる可能性があることを示し、摂動的ゼロ結合定数臨界点ではなく、非ガウス型固定点を示唆する。主な結果は、N>2に対して教科書的予測とは対照的に、有限結合定数におけるO(3)模型の質量なし状態に対する強い数値的支援が得られたことである。

ABSTRACT

In this talk I give an overview of the work done during the last 15 years in collaboration with the late Adrian Patrascioiu. In this work we accumulated evidence against the commonly accepted view that theories with nonabelian symmetry -- either two dimensional nonlinear $σ$ models or four dimensional Yang-Mills theories -- have the property of asymptotic freedom (AF) usually ascribed to them.

研究の動機と目的

• 非アーベルゲージ理論、特に2次元O(N)模型および4次元ヤン・ミルズ理論が漸近的自由性を示すという、教科書的常識的見解に挑戦すること。
• 格子ゲージ理論の連続極限が、摂動的取り扱いの前提とするゼロ結合定数ではなく、有限結合定数で生じるかどうかを調査すること。
• N>2のO(N)模型の臨界点が、逆温度βの有限で非ゼロの値にあるという、数値的および解析的証拠を提示すること。
• この代替的臨界挙動が、量子色力学（QCD）における質量ギャップおよびコンfinementに与える影響を検討すること。
• 4次元ヤン・ミルズ理論における質量ギャップの存在に関するクレイ数学研究所のミレニアム賞問題の解決に貢献すること。

提案手法

• 非アーベルゲージ理論の格子正則化として、2次元正方形格子上のO(N)スピン模型を分析し、単位長のスピンを用いたハミルトニアン H_Λ = -∑⟨xy⟩ s(x)·s(y) を使用する。
• 熱力学的極限 Λ↗ℤ² を用いて無限体積のギブス測度を定義し、逆温度βの関数として相関長 ξ(β) を研究する。
• スピン配置のパーコレーション解析を導入し、赤道からの角度ずれに基づく集合 P_ε と極からのずれに基づく集合 S_ε を定義し、長距離秩序を探索する。
• 格子サイズLの関数としての比 r(L) = ⟨P_ε⟩ / ⟨S_ε⟩ を用い、パーコレーションを検出する：r(L) がLとともに増加する場合、P_ε のパーコレーションを示し、減少する場合、S_ε のパーコレーションを示す。
• L=1280にまで達する大規模な数値シミュレーションを実施し、カットパラメータcおよびεの変化に伴うクラスターサイズおよびパーコレーション閾値の挙動を評価する。
• ルッソの補題およびクラスターエキスパンション技術を適用し、パーコレーション特性と発散する相関長および質量なし状態の存在を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元格子上のO(3)模型は、N>2に対して教科書的予測とは対照的に、有限結合定数βにおける質量なし状態を示すか？
• RQ2 角度ずれに基づくスピンクラスタ（P_ε および S_ε）のパーコレーションは、質量ギャップの不在を検出でき、有限βにおける臨界点を示唆するか？
• RQ3 相関長が有限結合定数で発散することを示す数値的証拠は存在するか？ これは、RGフローにおける非ガウス型固定点を示唆する。
• RQ4 ε < 0.76 および c > 0.745 の場合、P_ε および S_ε の両方の集合にパーコレーションが見られないことは、相関長の発散および有限βにおける臨界点を示唆するか？
• RQ5 標準的摂動的議論による漸近的自由性の失敗は、2次元非アーベル模型における非摂動的・非ガウス型固定点と調和するか？

主な発見

• ε < 0.76 の場合、任意のcに対してP_ε および S_ε はパーコレーションしない。これは相関長ξが発散することを示し、有限βにおける臨界点を示唆する。
• cが小さい場合、比 r(L) = ⟨P_ε⟩ / ⟨S_ε⟩ はLとともに急速に増加し、P_ε のパーコレーションを示す。一方、cが中程度の値の場合はr(L) が減少し、S_ε のパーコレーションを示す。
• c > 0.745（すなわち c > 1 - ε²/2 でε ≈ 0.76）の場合、P_ε も S_ε もパーコレーションしない。これは相関長が発散し、有限結合定数における臨界点を示唆する。
• r′(L) = ⟨P⁺_ε′⟩ / ⟨S_ε⟩ の挙動は、c ≈ 0.4 の場合、べき則的増加を示し、両方のクラスタータイプが任意の大きさのリングを形成することを示し、S_ε のパーコレーションが排除される。
• L=1280に達する格子からの数値的証拠は、有限βにおけるO(3)模型の質量なし状態の存在を支持する。これはN>2に対して標準的予測の質量ギャップとは対照的である。
• 結果は、2次元O(N)模型の連続極限が有限で非ゼロの結合定数で生じる可能性があることを示唆し、RGフローにおける非ガウス型固定点を示唆し、漸近的自由性の仮定に挑戦する。