[論文レビュー] The Casimir Energy in Curved Space and its Supersymmetric Counterpart

Benjamin Assel, Davide Cassani+4 more|Research Portal (King's College London)|Mar 18, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、特に $S^{d-1} \times \mathbb{R}$ 上の conformal field theories (CFTs) におけるカシミールエネルギーを調査し、$d=4$ の場合、標準的なカシミールエネルギーが正則化手法に依存し、固有の量でないことを示している。しかし、$\mathcal{N}=1$ スーパーシンメトリック CFT では、正則化手法に依存しない固有のカシミールエネルギー、すなわちスーパーカシミールエネルギーが出現し、その値は、球面 $S^3$ 上で $a + 3c$ に比例することが判明。この結果は、次元削減によるスーパーユニバーサル量子力学への還元と、ホログラフィックなチェックによって確認された。

ABSTRACT

We study $d$-dimensional Conformal Field Theories (CFTs) on the cylinder, $S^{d-1} imes \mathbb{R}$, and its deformations. In $d=2$ the Casimir energy (i.e. the vacuum energy) is universal and is related to the central charge $c$. In $d=4$ the vacuum energy depends on the regularization scheme and has no intrinsic value. We show that this property extends to infinitesimally deformed cylinders and support this conclusion with a holographic check. However, for $\mathcal{N}=1$ supersymmetric CFTs, a natural analog of the Casimir energy turns out to be scheme independent and thus intrinsic. We give two proofs of this result. We compute the Casimir energy for such theories by reducing to a problem in supersymmetric quantum mechanics. For the round cylinder the vacuum energy is proportional to $a+3c$. We also compute the dependence of the Casimir energy on the squashing parameter of the cylinder. Finally, we revisit the problem of supersymmetric regularization of the path integral on Hopf surfaces.

研究の動機と目的

• カシミールエネルギーが $S^{d-1} \times \mathbb{R}$ 上で CFT において固有の、正則化手法に依存しない物理量であるかどうかを特定すること。
• 多次元無次元補正項が存在するため、正則化に依存する $d=4$ カシミールエネルギーの曇りを解消すること。
• $\mathcal{N}=1$ CFT におけるカシミールエネルギーのスーパーサイドの定義と、正則化手法に依存せず固有の量となるように計算すること。
• 次元削減によるスーパーユニバーサル量子力学とホログラフィックなチェックによって結果を検証すること。
• 一貫した補正項を用いてホフ・サーフェス上での経路積分のスーパーシンメトリーを再考すること。

提案手法

• カシミールエネルギーを、$S^{d-1} \times \mathbb{R}$ 上の真空エネルギー $E_0 = \int_{S^{d-1}} d^{d-1}x \sqrt{g} \langle T_{\tau\tau} \rangle$ として定義する。
• 径数量子化を用いて、$\mathbb{R}^d$ 上の CFT をシリンダーに写像し、真空エネルギーの解析を可能にする。
• 4次元のチラル multiplet を1次元のスーパーユニバーサル量子力学系に次元削減し、スペクトルとエネルギーを計算する。
• 2段階の正則化と、発散を制御する滑らかな関数を用いたカットオフ正則化の2つの正則化手法を適用する。
• オイラー＝マクローリンの公式を用いて、Kaluza-Klein モードの正則化された和を展開し、有限部と発散部を抽出する。
• 線形化されたホログラフィックなカシミールエネルギーと、変形されたシリンダー上の場の理論の結果を比較することで、結果の妥当性をホログラフィー的に検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元 CFT における $S^3 \times \mathbb{R}$ 上のカシミールエネルギーは、固有の、正則化手法に依存しない物理量か？
• RQ2 正則化手法に依存しない、カシミールエネルギーのスーパーサイドを定義できるか？
• RQ3 球面 $S^3 \times \mathbb{R}$ 上でのスーパーカシミールエネルギーの値は何か？また、その値はスケーリングパラメータにどのように依存するか？
• RQ4 次元削減されたスーパーユニバーサル量子力学と、$S^3 \times S^1$ 上の1ループ行列式は、カシミールエネルギーにどのように寄与するか？
• RQ5 ホフ・サーフェス上での経路積分における発散を除去できる一貫したスーパーカウンターラグランジアンを構成できるか？

主な発見

• $d=4$ の場合、$R^2$ 補正項のため、標準的なカシミールエネルギーは固有ではなく、正則化手法に依存し、$E_0 \propto a - b/2$ の曇りを生じる。
• $\mathcal{N}=1$ スーパーシンメトリック CFT では、スーパーカシミールエネルギー $E_{\rm susy}$ は正則化手法に依存せず、固有の量であり、球面 $S^3$ 上で $a + 3c$ に比例する値を取る。
• 歪んだ $S^3 \times \mathbb{R}$ 上のスーパーカシミールエネルギーは計算され、スケーリングパラメータに依存することが示され、正則化手法に依存しない性質が保たれている。
• 4次元チラル multiplet を1次元スーパーユニバーサル量子力学に次元削減することで、ハミルトニアンのスペクトルがエネルギーを決定することから、この結果が裏付けられた。
• ホログラフィックなチェックにより、カシミールエネルギーが3次元球面の無限小変形に対して線形応答を示すことが確認され、$E_{\rm susy}$ の正則化手法に依存しない性質が支持された。
• カットオフ正則化における発散項は、新しい最小スーパーグラビティにおける次元2のスーパーカウンターラグランジアンによって除去され、$S^3 \times S^1$ 背景作用と整合的である。