[論文レビュー] The category of implicative algebras and realizability

Walter Ferrer, Octavio Malherbe|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2017

Logic, programming, and type systems参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、帰納的代数（IAs）と抽象的クリヴィネ構造（AKSes）の圏における射を導入・分析することで、クリヴィネの実現可能性の圏的枠組みを確立し、それらの間の基本的な随伴関係を証明する。主たる貢献は、帰納的代数とその閉包作用素から導かれる関手を通じて、クリヴィネの、シュトライヒャcerの、およびボレット三つ組が、特にボレット構成と閉包作用素のアレクサンドロフ近似を通じて、形式的に同値であることを示すことにある。

ABSTRACT

In this paper we continue with the algebraic study of Krivine's realizability, refining some of the authors' previous constructions by introducing two categories, with objects the abstract Krivine structures and the implicative algebras respectively. These categories are related by an adjunction whose existence clarifies many aspects of the theory previously established.

研究の動機と目的

• 帰納的代数（IAs）と抽象的クリヴィネ構造（AKSes）の圏における射を形式化し、実現可能性の圏的取り扱いを支援すること。
• 特にボレット構成と$A/K$構成を統一的な圏的枠組み内で一般化・完成すること。
• 帰納的代数または帰納的順序付き組合せ代数（IOCA）から生じることを示すことにより、クリヴィネの、シュトライヒャcerの、およびボレット三つ組の同値性を明確にすること。
• 帰納的コモナド上の帰納的代数への右随伴関手$V$を、帰納的代数の圏から定義し、閉包作用素のアレクサンドロフ近似を通じてボレット構成を一般化すること。
• 順序を保ちつつ本質的に全射である埋め込みを用いて、閉包作用素の下での固定点部分代数における帰納的代数とその三つ組が同値であることを示すこと。

提案手法

• 帰納的代数を対象とし、計算的に密なまたは適用的写像を射とする2つの圏$\mathbf{IAc}$と$\mathbf{IA}$を導入する。
• 適用的構造を保存する写像を備えた抽象的クリヴィネ構造のための類似の圏$\mathbf{AKSc}$と$\mathbf{AKS}$を定義する。
• 以前の$A$および$K$構成を関手に拡張する関手$A: \mathbf{AKS} \to \mathbf{IA}$および$K: \mathbf{IA} \to \mathbf{AKS}$を構成する。
• $\mathbf{AKSc}$と$\mathbf{IAc}$の間の重要な随伴関係$A \dashv K$を確立し、AKSesとIAsの間の双対性を明確にする。
• 帰納的コモナド上の圏$\mathbf{Co}_{\text{imp}}(\mathbf{IA})$から$\mathbf{IA}$への関手$V: \mathbf{Co}_{\text{imp}}(\mathbf{IA}) \to \mathbf{IA}$を一般化したボレット構成として定義し、$T \dashv V$を満たす。
• $V$関手を用いて、帰納的代数とその$\iota$-固定点部分代数における三つ組が同値であることを示し、特に二重垂直閉包作用素に対して有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 帰納的代数と抽象的クリヴィネ構造の間の射をどのように形式化すれば、実現可能性の圏的取り扱いを支援できるか？
• RQ2 帰納的代数と抽象的クリヴィネ構造の圏の間の圏的関係は何か？また、それは三つ組の構成をどのように明確にするか？
• RQ3 クリヴィネの、シュトライヒャcerの、およびボレット三つ組の同値性を、圏的関手と閉包作用素を用いて再解釈・一般化できるか？
• RQ4 ボレット構成はどのように帰納的コモナド上の関手に一般化され、異なる代数における三つ組の関係をどのように果たすか？
• RQ5 帰納的代数と閉包作用素の下でのその部分代数における三つ組が同値となる条件は何か？

主な発見

• 圏$\mathbf{AKSc}$と$\mathbf{IAc}$は随伴関係$A \dashv K$によって接続されており、抽象的クリヴィネ構造と帰納的代数の間の形式的双対性を確立している。
• 帰納的代数$\mathcal{A}$とその$\iota$-固定点部分代数$\mathcal{A}_{\iota}$に付随する三つ組は同値であり、ボレット構成が圏的関手$V$に一般化されている。
• 帰納的コモナドの固定点関手として定義される関手$V: \mathbf{Co}_{\text{imp}}(\mathbf{IA}) \to \mathbf{IA}$は、自明なコモナド関手$T$に対する右随伴であり、ボレット作用素がアレクサンドロフ近似として一般化されている。
• 任意のIOCA$\mathcal{B}$に対して、三つ組$\mathbf{H}_{\mathcal{B}}$と$\mathbf{H}_{A_{\perp}(K(\mathcal{B}))}$は同値であり、互いに逆写像である$f(P) = \bigwedge P$と$g(a) = \uparrow a$によって誘導される。
• $\mathbf{H}_{A_{\perp}(\mathcal{K})} \to \mathbf{H}_{A(\mathcal{K})}$の包含は、任意の$\mathcal{K} \in \mathbf{AKS}$に対して三つ組の同値性を誘導し、クリヴィネのとシュトライヒャcerの三つ組の統合を確認する。
• 帰納的代数またはIOCAからの三つ組の構成は、同型に関して不変であり、$\mathbf{IOCA}$における可逆な射によって誘導される同値性によって示された。