[論文レビュー] The category of $\mathbb{Z}_2^n$-supermanifolds

Covolo, Tiffany, Grabowski, Janusz+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、$Χ_n^2$-grading と Deligne の符号則に基づく一般化された超幾何学枠組みを導入することで、$Χ_n^2$-超多様体の基礎理論を確立する。超多様体写像が座標関数への作用によって完全に決定されることを証明し、接ベクトル束および余接ベクトル束の関手が $Χ_n^2$-超多様体の圏を閉じることを示す。また、零点でない偶数次元座標における冪零性の代わりに形式的級数を用いることで、n重ベクトルバンドルが自然に $Χ_n^2$-超多様体へと超多様体化されることを示す。

ABSTRACT

In Physics and in Mathematics $\mathbb{Z}_2^n$-gradings, $n>1$, appear in various fields. The corresponding sign rule is determined by the `scalar product' of the involved $\mathbb{Z}_2^n$-degrees. The $\mathbb{Z}_2^n$-Supergeometry exhibits challenging differences with the classical one: nonzero degree even coordinates are not nilpotent, and even (resp., odd) coordinates do not necessarily commute (resp., anticommute) pairwise. In this article we develop the foundations of the theory: we define $\mathbb{Z}_2^n$-supermanifolds and provide examples in the ringed space and coordinate settings. We thus show that formal series are the appropriate substitute for nilpotency. Moreover, the class of $\mathbb{Z}_2^\bullet$-supermanifolds is closed with respect to the tangent and cotangent functors. We explain that any $n$-fold vector bundle has a canonical `superization' to a $\mathbb{Z}_2^n$-supermanifold and prove that the fundamental theorem describing supermorphisms in terms of coordinates can be extended to the $\mathbb{Z}_2^n$-context.

研究の動機と目的

• 古典的超幾何学を超えた $Χ_n^2$-超多様体の厳密な幾何的枠組みの構築。
• 特に冪零性の欠如と非標準的な交換関係に起因する、高次元グレーディング超幾何学における基礎的問題の解決。
• 超多様体写像が座標関数のpullbackによって完全に決定されることの証明を行い、古典的基本定理を $Χ_n^2$-文脈へと拡張する。
• 超多様体の圏が接関手および余接関手に関して閉じていることの証明。
• $Χ_n^2$-超多様体としてのn重ベクトルバンドルの自然な超多様体化を確立し、自然な幾何的モデルを提供する。

提案手法

• $Χ_n^2$-超多様体を、$Χ_n^2$-グレーディング関数代数を備えた環付き空間および座標チャートを用いて定義する。
• 非零次元の偶数次元座標における冪零性の代わりに形式的級数を用いる。
• Deligneの符号則の適用：同次元要素の $Χ_n^2$-次数がそれぞれ $(m_1,\dots,m_n)$ および $(k_1,\dots,k_n)$ であるとき、$AB = (-1)^{\sum_{i=1}^n m_i k_i} BA$ が成り立つ。
• 関数代数上の $\mathfrak{m}$-adic位相に関して、セクションのプルバックが連続であることを証明する。
• 局所座標におけるテイラー展開を用いて、関数の芽の多項式近似を構成する。
• 関数代数の連続性および完備性を用いて、任意の $Χ_n^2$-写像が、その座標関数へのプルバックによって一意に決定されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数次元座標が冪零ではない場合や交換関係が一般化された場合に、$Χ_n^2$-超多様体の整合的な幾何理論をどのように構築できるか。
• RQ2 古典的超多様体写像に関する基本定理が、写像が座標関数のプルバックによって決定されることを前提とする $Χ_n^2$-文脈へと拡張可能か。
• RQ3 超多様体の圏が接関手および余接関手に関して閉じているか。また、この性質はベクトルバンドルの自然な超多様体化とどのように関係するか。
• RQ4 形式的級数が $Χ_n^2$-超幾何学における冪零性の代替として果たす役割は何か。関数代数の構造にどのように影響を与えるか。
• RQ5 n重ベクトルバンドルがどのように自然な超多様体化プロセスを通じて $Χ_n^2$-超多様体へと自然に導かれるか。

主な発見

• 超多様体の圏は接関手および余接関手に関して閉じており、$TM$ の関数代数は、Deligneの符号則に従う微分超形式の完備化として得られる。
• 終域が $Χ_n^2$-超多様体領域である任意の $Χ_n^2$-写像は、その座標関数へのプルバックによって完全に決定され、古典的基本定理が $Χ_n^2$-文脈へと一般化される。
• $Χ_n^2$-超多様体の関数代数は、形式変数における多項式代数の完備化であり、冪零性の代わりに $\mathfrak{m}$-adic位相における収束を用いる。
• 古典的 $\mathbb{Z}_2$-超多様体 $M$ の接ベクトル束 $T[1]M$ は自然に $Χ_2^2$-超多様体であり、その関数代数は擬微分形式の代数と同型である。
• 任意のn重ベクトルバンドルの超多様体化は、$Χ_n^2$-超多様体として自然に得られ、高次元グレーディング超幾何学の自然な幾何的モデルを提供する。
• $\u03a7_n^2$-Berezinian および関連する高次トレースは、四元数行列に対するCayleyの課題を解く非自明な古典的Berezinianの一般化を提供する。