[論文レビュー] The Cauchy problem for parallel spinors as first-order symmetric hyperbolic system

Andree Lischewski|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2015

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、任意の滑らかなリーマンスピン多様体が代数的ディラック電流制約を満たす虚数の一般化 $W$-キリングスピンォルを有する場合、それが、ヌル平行スピンォルを有するグローバルに双曲的 Lorentz多様体に、スパacelike Cauchy超多様体として埋め込めるという事実を示すことにより、ヌル平行スピンォルを有する Lorentz多様体に対するコーシー問題を確立する。この構成は、1階対称双曲型 PDE の手法を用いて計量とスピンォルデータを発展させるもので、真空中のアインシュタイン方程式を一般化し、リッチ平坦でない状況へも拡張する。

ABSTRACT

We prove that a smooth Riemannian manifold admitting an imaginary generalized Killing spinor whose Dirac current satisfies an additional algebraic constraint condition can be embedded as spacelike Cauchy hypersurface in a smooth Lorentzian manifold on which the given spinor extends to a null parallel spinor. This is in contrast to a corresponding Cauchy problem for real generalized Killing spinors into Riemannian manifolds. The construction is based on first order symmetric hyperbolic PDE-methods. In fact, the coupled evolution equations for metric and spinor as considered here extend and generalize the well known PDE-system appearing in the Cauchy problem for the vacuum Einstein equations. Special cases are discussed and the statement is compared with a similar result obtained recently for the analytic category.

研究の動機と目的

• ヌル平行スピンォルを有する Lorentz多様体に対するコーシー問題を確立し、真空中のアインシュタイン方程式を supersymmetric 背景へ拡張する。
• スピンォルが虚数の一般化 $W$-キリングスピンォルであり、代数的ディラック電流制約を満たすという条件を満たす、Riemann多様体 $(\Sigma, g^\Sigma, W, \varphi)$ 上の初期データを特徴づける。
• このような初期データが、1階対称双曲型系を用いて、一意的にグローバルに双曲的 Lorentz多様体に拡張可能であり、その多様体にヌル平行スピンォルが存在することを証明する。
• 得られる Lorentz多様体がリッチ平坦であるための必要十分条件は、第二基本形式 $W$ が真空中のアインシュタイン制約方程式を満たすことである。

提案手法

• 任意の正の $\lambda$ と Riemann計量の族 $h_t$ を用いて、$\mathbb{R} \times \Sigma$ 上に背景 Lorentz計量 $h = -\lambda^2 dt^2 + h_t$ を定める。
• 計量 $g$ の発展は、$g$ と $h$ の Levi-Civita接続の収縮差分テンソルが恒等的にゼロであるという条件により制御される：すべての $X \in TM$ に対して $E(X) := -\text{tr}_g(g(A(\cdot,\cdot), X)) = 0$ が成り立つ。ここで $A = \nabla^g - \nabla^h$ である。
• この系が1階対称双曲型 PDE 系であることが示され、標準的な双曲型理論により、局所的かつ一意的な解の存在が保証される。
• スピンォル場 $\varphi$ は、スピンォルの発展系を解くことにより、$M$ 上の平行スピンォル $\phi$ に拡張され、虚数の一般化 $W$-キリングスピンォルおよびディラック電流制約が保存される。
• この手法は、真空中のアインシュタインコーシー問題を一般化する。真空中の制約方程式は $d\text{tr}_{g^\Sigma}W + \delta^\Sigma W = 0$ および $\text{scal}^\Sigma - \text{tr}_{g^\Sigma}(W^2) + (\text{tr}_{g^\Sigma}W)^2 = 0$ であるが、ここではスピンォルの発展を含むように拡張されている。
• 主な技術的ステップは、与えられた制約のもとで、系が対称準線形双曲型のままであることを確認することであり、これにより、このような系に対する存在定理の適用が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 虚数の一般化 $W$-キリングスピンォルと等方的ディラック電流を有する Riemann多様体は、ヌル平行スピンォルを有する Lorentz多様体に、スパacelike Cauchy超多様体として埋め込めるか？
• RQ2 このようなデータの発展が、リッチ平坦 Lorentz多様体をもたらす条件は何か？
• RQ3 ヌル平行スピンォルに対するコーシー問題は、PDE 構造の観点から、真空中のアインシュタインコーシー問題とどのように異なるか？
• RQ4 この構成は、リッチ平坦な背景を超えて、非真空 supersymmetric 超重力解へ一般化可能か？
• RQ5 代数的制約 $U_\varphi \cdot \varphi = i u_\varphi \varphi$ は、ヌル平行スピンォルの存在を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 代数的ディラック電流制約を満たす虚数の一般化 $W$-キリングスピンォルを有する Riemann多様体 $(\Sigma, g^\Sigma, W, \varphi)$ からなる初期データは、一意的にグローバルに双曲的 Lorentz多様体 $(M,g)$ に拡張可能であり、その多様体にはヌル平行スピンォルが存在する。
• 計量とスピンォルの発展系は、1階対称双曲型 PDE 系と等価であり、これにより局所的かつ一意的な解の存在が保証される。
• 得られる Lorentz多様体がリッチ平坦であるための必要十分条件は、第二基本形式 $W$ が真空中のアインシュタイン制約方程式 $d\text{tr}_{g^\Sigma}W + \delta^\Sigma W = 0$ を満たすことである。これは、発展系における $f_{|\Sigma} = 0$ と同値である。
• この構成は、スピンォルの発展を含み、リッチ平坦性の要請を緩和することにより、真空中のアインシュタインコーシー問題を一般化し、非真空 supersymmetric 背景へもフレームワークを拡張する。
• 一般に、ワーペッド積計量 $g^\Sigma = ds^2 + h^2 \cdot \mathbf{g}_\mathcal{F}$ の場合、$W_f$ が Codazzi でなかったり、可逆でなかったりする場合でも、本手法は適用可能であり、対称な場合を超えた広範な適用可能性を示している。
• 本手法は計量 $g$ の明示的公式を提供しないが、双曲型 PDE 理論により、$\Sigma$ の近傍でその存在と滑らかさが保証される。