[論文レビュー] The Cauchy problem on large time for surface waves type Boussinesq systems II

Jean‐Claude Saut, Chao Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、表面張力が関与する2つの従来未解決の強発散的Boussinesq系について、長時間にわたる適切な定義の成立を確立した。具体的には、$ b = d = c = 0, a < 0 $ および $ a = b = d = 0, c < 0 $ の場合を対象とする。エネルギー法と対称化技術を用いて、$ 1/\rho $ 時間スケールで一様に存在が保証されることを証明し、表面波型Boussinesq系の初期値問題理論における未解決事項を解消した。

ABSTRACT

This paper is a continuation of a previous work by two of the Authors on long time existence for Boussinesq systems modeling the propagation of long, weakly nonlinear water waves. We provide proofs on examples not considered previously in particular we prove a long time well-posedness result for a delicate "strongly dispersive" Boussinesq system.

研究の動機と目的

• 従来の研究で十分に取り扱われなかったケースをカバーすることで、表面波型Boussinesq系の長時間初期値理論を完成させること。
• 強発散的系において $ b = d = c = 0, a < 0 $ および $ a = b = d = 0, c < 0 $ の場合に、$ O(1/\rho) $ 時間スケールで一様な適切な定義を確立すること。これらの系は強い表面張力下で物理的に許容可能である。
• 標準的な対称化手法が失敗するような繊細な系に対しても、エネルギー法の適用範囲を拡張すること。
• 線形的に不適切なが、数学的に重要な $ b = d = 0, a < 0, c < 0 $ の場合の長時間存在の未解決問題を解消すること。
• 今後のフルディスパージョン系およびその可積分性に関する研究の基盤を提供すること。

提案手法

• Boussinesq系の元来の定式化にエネルギー法の技術を適応させ、$ a < 0, c = 0, b = d = 0 $ の場合に、対称化に依存しない手法を採用する。
• 線形化系に対称化技術を適用し、Sobolev空間 $ H^s $ におけるエネルギー推定を得ることで、$ \rho $ に一様な境界を保証する。
• フルディスパージョンBoussinesq系 $ \boldsymbol{u}_t + \nabla \theta = 0 $ のハミルトニアン構造（$ \theta = \rho^{1/2} \tilde{\theta} $）を用いて、分散性の性質を分析する。
• Fourier乗算作用素 $ \rho \tilde{\theta} $ を分析し、短波長極限においてその次数が3であることを示し、系が「強発散的」と分類されることを確認する。
• 極限 $ \rho \to 0 $ における漸近系を導出し、1次元ではKaup系 (6.21)、2次元では関連する系が得られることを示す。これらは完全可積分であるが、古典的には不適切である。
• フルディスパージョン系 (6.19) が、不適切なKaup系を適切な正則化として保つこと、および主要な力学的性質を保存することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面張力が強い条件下で物理的に許容可能であるが、線形的に不適切な系 $ b = d = c = 0, a < 0 $ に対して、長時間適切な定義をエネルギー法で確立できるか。
• RQ2 系 $ a = b = d = 0, c < 0 $ の解の存続時間は何か。また、$ O(1/\rho) $ 時間スケールで一様に存在が保証されるか。
• RQ3 負の分散パラメータを持つ系に対して、古典的な対称化子が失敗する状況下で、エネルギー法と対称化技術がどのように適用可能か。
• RQ4 フルディスパージョンBoussinesq系 (6.19) は、線形的に不適切なKaup系 (6.21) の適切な正則化であるか。その動的意義は何か。
• RQ5 表面張力が存在する系において、$ \rho $ を固定したまま $ \rho \to 0 $ としたとき、Boussinesq系の初期値理論を一様に拡張可能か。

主な発見

• 本稿は、$ b = d = c = 0, a < 0 $ の系に対して、基本的なエネルギー法を用いて長時間適切な定義を確立し、解の存在を時間スケール $ T_\rho = O(1/\rho) $ で示した。
• 系 $ a = b = d = 0, c < 0 $ に対して、$ s > 3/2 $ のSobolev空間 $ H^s(\rho) $ において一様に存在が保証され、解の存続時間 $ T_\rho = O(1/\rho) $ であることを証明した。これにより、従来未解決であったケースが解消された。
• フルディスパージョンBoussinesq系 (6.19) が、線形的に不適切なKaup系 (6.21) の適切な正則化であることが示され、同じ長波長極限を持つ。
• 系 (6.19) は $ J $ と $ H_\rho $ を持つハミルトニアン構造を有し、その分散作用素 $ \rho \tilde{\theta} $ の次数が3であることが確認され、強発散的と分類されることを裏付けた。
• $ \rho \to 0 $ の極限において、1次元ではKaup系、2次元では関連する系に還元され、これらは完全可積分であるが、古典的には不適切である。
• 底面がゆっくり変化する場合の非平坦底面系に対しても結果は拡張可能であり、$ \rho $ を固定したまま $ \rho \to 0 $ としたときにも理論が一様に適用可能である。これにより、長時間存在の枠組みの頑健性が確認された。