[論文レビュー] The causal hierarchy of spacetimes

E. Minguzzi, Miguel Sánchez|ArXiv.org|Sep 26, 2006

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 50被引用数 99

ひとこと要約

本稿は時空の因果的階層を構築し、洗練し、非全的に悪質な時空からグローバルに双曲的である時空まで、因果的性質によってローレンツ多様体を分類する包括的な枠組みを確立する。最小限の仮定に基づき、1980年代以降に長年未解決のままだった時間関数およびコーシー超曲面の滑らかさに関する『民話的問い』を解消する。さらに、標準的な因果的階段を補完する部分順序としての等因果性（isocausality）の概念を導入・分析し、ミンコフスキー時空とド・シーターモン時空の間での安定性の違いを示す。

ABSTRACT

The full causal ladder of spacetimes is constructed, and their updated main properties are developed. Old concepts and alternative definitions of each level of the ladder are revisited, with emphasis in minimum hypotheses. The implications of the recently solved ``folk questions on smoothability'', and alternative proposals (as recent isocausality), are also summarized.

研究の動機と目的

• 非全的に悪質な時空からグローバルに双曲的な時空まで、最小限の仮定に基づき、時空の因果的階層を体系的に構築・明確化すること。
• 1980年代以降に未解決のままであった時間関数およびコーシー超曲面の滑らかさに関する『民話的問い』を解消すること。
• 最近得られた滑らかさの結果を用いて、古典的な安定因果性およびグローバル双曲性の定義を再評価・統合すること。
• 等因果性（isocausality）という代替的部分順序を導入・分析し、因果構造の安定性に与える影響を評価すること。
• ローレンツ幾何学における因果関係を研究するための幾何学的・解析的道具（例えば、グローバルに双曲的な近傍や共形不変性の性質）を提供すること。

提案手法

• 9段階の因果的階層を構築し、それぞれの段階を代替的で最小限の仮定による特徴づけで定義する。
• 時間関数およびコーシー超曲面の滑らかさに関する最近の結果を応用し、古典的定義と内在的定義との間の同値性を再確立する。
• 共形不変性およびM×M上の因果関係（I⁺, J⁺, E⁺）を用いて、因果構造および光的測地線を分析する。
• 因果写像を介して等因果性の概念を導入し、C⁰およびCʳ摂動におけるその挙動を分析する。
• 理論をGRW時空に適用し、その等因果的型を分類し、微小変形における安定性を同定する。
• ミンコフスキー時空の等因果的構造はC⁰安定であるのに対し、ド・シーターモン時空の等因果的構造は任意のr≥0に対してCʳ不安定であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小限の仮定と未解決問題の解消を伴い、時空の因果的階層をどのように体系的に再構築できるか？
• RQ2 安定因果性と滑らかな時間関数の存在との間の正確な関係は何か？最近の滑らかさの結果はこの関係をどのように解消するか？
• RQ3 等因果性の概念は標準的な因果的階層をどのように洗練または補完するのか？また、時空の安定性に与える影響は何か？
• RQ4 なぜド・シーターモン時空の等因果的構造はCʳ摂動に対して不安定であるのに対し、ミンコフスキー時空の構造は安定しているのか？
• RQ5 幾何学的および位相的条件は、GRW時空の等因果的類をどのように決定づけるのか？

主な発見

• 古典的な安定因果性の定義は、滑らかな時間関数の存在と厳密に同値であることが示され、長年の未解決問題が解消された。
• グローバルに双曲的な時空の構造は、滑らかなコーシー超曲面の存在によって完全に特徴づけられ、最近の滑らかさ定理によって確立された。
• 等因果性は、標準的な因果的階層を完全に洗練しないが、因果的安定性に関する新たな知見を提供する部分順序である。
• ローレンツ＝ミンコフスキー時空の等因果的構造はC⁰安定であり、微小摂動に対しても頑健であることを示す。
• 一方、ド・シーターモン時空の等因果的構造は、任意のr≥0に対してCʳ不安定であり、物理的に安定な因果的構成とは見なされない可能性を示唆する。
• S^{n−1}を基底とするGRW時空では、因果的安定性の観点から4つの等因果的型が存在し、アインシュタイン静的宇宙は最も安定である。