[論文レビュー] The cellularization principle for Quillen adjunctions

J. P. C. Greenlees, Brooke Shipley|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、安定モデル圏におけるクイレン随伴の細胞化原理を確立する。弱い条件下で、クイレン随伴が対応する小さな対象に関して細胞化された後、導来単位または余単位が細胞上で同値であれば、クイレン同値が誘導される。主な貢献は、細胞化されたクイレン随伴がクイレン同値をもたらすための一般基準を提示することであり、DGAsの図式圏やホモトピー下付きの応用を含む。

ABSTRACT

The Cellularization Principle states that under rather weak conditions a Quillen adjunction of stable model categories induces a Quillen equivalence on cellularizations provided there is a derived equivalence on cells. We give a proof together with a range of examples. The main result here was originally presented as an appendix of arXiv:1101.2511. However, the Cellularization Principle has many other applications which are explored here. The material in arXiv:1101.2511v3 will be revised to refer to this paper.

研究の動機と目的

• 安定モデル圏間のクイレン随伴が細胞化された後、クイレン同値を誘導する一般原理を確立すること。
• 細胞化がクイレン随伴を保存し、クイレン同値をもたらすような弱い条件下を同定すること。
• 導来同値が細胞的対象上で成立することを検出するための枠組みを提供すること。
• この原理を、特にDGAsの図式圏やホモトピー下付きの文脈において、具体的な例に適用すること。
• 古典的事実（コホモロジー理論の自然変換が球面上で同型であれば同値である）に類似した結果を形式化し、公表すること。

提案手法

• 著者たちは、ホモトピー関手複体、あるいは安定系では写像のホモトピー群を用いて、モデル圏の特定の対象集合に関する細胞化を定義する。
• クイレン随伴が小さな生成対象の集合上で導来単位または余単位の同値性を保存するならば、その細胞化に誘導される随伴がクイレン同値であることを示す。
• 証明は、細胞的対象がホモトピー余極限および弱同値に関して閉じており、細胞モデル構造が右正則かつ細胞的であるという事実に依拠する。
• 細胞的対象は、生成集合を含み、ホモトピー余極限および弱同値に関して閉じた最小のクラスとして特徴づけられる。
• この手法は、細胞的同値が順位付きホモトピー群の同型によって検出可能な安定モデル圏に適用可能である。
• 図式圏のDGAsにこの枠組みを適用し、図式インジェクティブモデル構造とホモトピー上の押し出しを用いて、小さな性質と導来同値性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定モデル圏間のクイレン随伴が、対応する対象に関して細胞化された後、いつクイレン同値を誘導するか。
• RQ2 クイレン随伴の導来単位または余単位が細胞的対象上で同値であるのはいつか、そしてそのことは細胞化された随伴にどのような意味を持つのか。
• RQ3 細胞化プロセスは、DGAsの図式圏におけるクイレン同値の検出にどのように利用できるか。
• RQ4 生成対象の小さな性質が、細胞化された随伴がクイレン同値であることを保証するために果たす役割は何か。
• RQ5 DGAsのホモトピー下付きが、対応する加群圏の間で細胞化された後、いつクイレン同値を誘導するか。

主な発見

• 細胞化原理が成立する：安定的で右正則かつ細胞的なモデル圏間のクイレン随伴が、細胞上で導来同値を誘導するならば、細胞化された随伴はクイレン同値である。
• 安定的で小さな対象の集合に関して細胞化することで、クイレン随伴構造が保存され、導来単位または余単位が生成対象上で同値であれば、クイレン同値が得られる。
• DGAsに対して、$R$-加群と$R^{oxempty}$-加群の間の随伴は、$R$の像に関して細胞化することでクイレン同値になる。
• $R^{oxempty}$がホモトピー圏における$R^{oxempty}$-加群のなかで小さな対象であることが、ホモトピー上の押し出し分解によって示される。
• ホモトピー下付きのDGAsのケースでは、導来単位が$R$上で同値であり、細胞化原理の主要仮定を満たす。
• この結果は、球面上で同型であるコホモロジー理論の自然変換が同値であるという古典的事実のホモトピー的類似を提供する。