[論文レビュー] The Center of the Nilcoxeter and 0-Hecke Algebras

Joelle Brichard|ArXiv.org|Nov 16, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、メビウスの輪上の位相的図式計算を用いて、0-ヘケ代数 $\mathcal{H}_n$ およびニルコクサーター代数 $\mathcal{NC}_n$ の中心の次元を計算する。$Z(\mathcal{NC}_n)$ の明示的基底を構成し、この基底における積表が自明であることを示し、$Z(\mathcal{H}_n)$ に対しても同様の基底構成を予想する。両中心の次元は、分割に基づく公式によって与えられ、等しいことが示される。

ABSTRACT

We compute the dimension of the center of the 0-Hecke algebra $\mathcal{H}_n$ and of the Nilcoxeter algebra $\mathcal{NC}_n$ using a calculus of diagrams on the Möbius band. In the case of the Nilcoxeter algebra, this calculus is shown to produce a basis for $Z(\mathcal{NC}_n)$ and the table of multiplication in this basis is shown to be trivial. We conjecture that a basis for $Z(\mathcal{H}_n)$ can also be obtained in a specific way from this topological calculus.

研究の動機と目的

• 0-ヘケ代数 $\mathcal{H}_n$ およびニルコクサーター代数 $\mathcal{NC}_n$ の中心の次元を特定すること。
• メビウスの輪上での図式計算を用いて、$Z(\mathcal{NC}_n)$ の基底要素を記述すること。
• 構成された $Z(\mathcal{NC}_n)$ の基底における積表が自明であることを示すこと。
• 同じ位相的図式計算を用いて、$Z(\mathcal{H}_n)$ の基底を構成する方法を予想すること。
• $\mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]_t$ の同型性を用いて、$\dim Z(\mathcal{H}_n) = \dim Z(\mathcal{NC}_n)$ を確立すること。

提案手法

• 代数 $\mathcal{H}_n$ および $\mathcal{NC}_n$ の要素を表すために、メビウスの輪上での図式計算を用いる。
• 双対性を介して中心 $Z(\mathcal{A})$ を特定するため、トレース写像 $\varepsilon$ を適用し、$\mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]_t$ と結びつける。
• $\mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]_t$ 内のコセット代表元を表す図式の補集合の和として、$Z(\mathcal{NC}_n)$ の基底要素を構成する。
• $\mathcal{NC}_n$ における関係 $T_i^2 = 0$ を用いて、非最小図式を排除し、同値類を定義する。
• $\mathcal{H}_n$ における関係 $T_i^2 = T_i$ を用いて、重複する図式を生成し、コセット代表元を特定する。
• メビウスの輪上での位相的同値性を用いて図式を分類し、$\mathcal{H}_n$ と $\mathcal{NC}_n$ 間の整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 0-ヘケ代数 $\mathcal{H}_n$ の中心の次元は何か？
• RQ2 メビウスの輪上での位相的図式計算を用いて、$Z(\mathcal{NC}_n)$ の基底を構成できるか？
• RQ3 構成された $Z(\mathcal{NC}_n)$ の基底における積表は自明か？
• RQ4 より複雑なコセット構造を考慮しても、同様の基底構成を $Z(\mathcal{H}_n)$ に拡張できるか？
• RQ5 $\mathcal{A} = \mathcal{H}_n$ および $\mathcal{A} = \mathcal{NC}_n$ の場合における商空間 $\mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]_t$ は同型か？

主な発見

• $\mathcal{NC}_n$ の中心の次元は、$\sum_{\lambda \vdash n} \frac{n_\lambda!}{m_\lambda}$ で与えられ、ここで $n_\lambda$ は $\lambda$ の偶数部の数であり、$m_\lambda = \prod_j (i_j!)$ である。
• $Z(\mathcal{NC}_n)$ の基底は、$\mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]_t$ 内の各コセットを表す図式の補集合の和として構成される。
• 構成された $Z(\mathcal{NC}_n)$ の基底における積表は自明である：異なる2つの基底要素の積は0であり、同じ基底要素の自乗も0である。
• $\mathcal{A} = \mathcal{H}_n$ および $\mathcal{A} = \mathcal{NC}_n$ の場合におけるベクトル空間 $\mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]_t$ は同型であり、したがって $\dim Z(\mathcal{H}_n) = \dim Z(\mathcal{NC}_n)$ が成り立つ。
• $\mathcal{H}_n$ では、関係 $T_i^2 = T_i$ のため、$\mathcal{NC}_n$ よりもコセットのサイズが大きくなり、基底を構成するためのより複雑な線形結合が必要となる。
• 図24は、合計厚さが3である図式の補集合の和として表される $Z(\mathcal{H}_3)$ の基底要素を示しており、構成の非自明性を示している。