[論文レビュー] The Central Limit Theorem for Linear Eigenvalue Statistics of the Sum of Independent Matrices of Rank One

Olivier Guédon, Anna Lytova+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2013

Random Matrices and Applications参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、i.i.d. かつ等方的なベクトルからなるランク1行列の和として構成される大規模なランダム行列の線形固有値統計量における中心極限定理（CLT）を確立する。ベクトルが「非常に優れた」性質を持つ——「優れた」ベクトルの部分クラスであり、モーメントおよび尾部の制御を保証する——という条件下で、正規化された固有値数え上げがガウス分布に収束することを示し、固有値分布の極限に関する先行研究を、固有値のフラクチュエーションにまで拡張する。

ABSTRACT

We consider $n imes n$ random matrices $M_{n}=\sum_{α=1}^{m}{τ_{α}}\mathbf{y}_{α}\otimes \mathbf{y}_{α}$, where $τ_{α}\in \mathbb{R}$, $\{\mathbf{y}_{α}\}_{α=1}^{m}$ are i.i.d. isotropic random vectors of $\mathbb{R}^n$, whose components are not necessarily independent. It was shown in arXiv:0710.1346 that if $m,n ightarrow \infty$, $m/n ightarrow c\in \lbrack 0,\infty )$, the Normalized Counting Measures of $\{τ_{α}\}_{α=1}^{m}$ converge weakly and $\{\mathbf{y}_α\}_{α=1}^m$ are extit{good} (see corresponding definition), then the Normalized Counting Measures of eigenvalues of $M_{n}$ converge weakly in probability to a non-random limit found in \cite{Ma-Pa:67}. In this paper we indicate a subclass of good vectors, which we call extit{very good} and for which the linear eigenvalue statistics of the corresponding matrices converge in distribution to the Gaussian law, i.e., the Central Limit Theorem is valid. An important example of good vectors, studied in arXiv:0710.1346 are the vectors with log-concave distribution. We discuss the conditions for them, guaranteeing the validity of the Central Limit Theorem for linear eigenvalue statistics of corresponding matrices.

研究の動機と目的

• n×n のランダム行列 $ M_n = \sum_{\alpha=1}^m \tau_\alpha \mathbf{y}_\alpha \otimes \mathbf{y}_\alpha $ の線形固有値統計量における中心極限定理（CLT）を確立すること。ここで $ \{\mathbf{y}_\alpha\} $ は i.i.d. かつ等方的なランダムベクトルである。
• 線形固有値統計量のCLTが成り立つ『優れた』ベクトルの部分クラス、すなわち『非常に優れた』ベクトルを同定すること。
• 固有値分布の弱収束（極限スペクトル測度）に関する先行結果を、線形統計量のフラクチュエーション行動にまで拡張し、フラクチュエーションがガウス分布に従うことを示すこと。
• 特に、対数凹型および等方的ベクトルに対して、CLT の有効性を保証する、ベクトル $ \mathbf{y}_\alpha $ の分布に関する十分条件を提供すること。

提案手法

• 行列 $ M_n = \sum_{\alpha=1}^m \tau_\alpha \mathbf{y}_\alpha \otimes \mathbf{y}_\alpha $ の固有値の正規化された計数測度（NCM）$ N_n $ と、重み $ \{\tau_\alpha\} $ のNCM $ \sigma_m $ を定義する。$ m \to \infty $ の下で $ \sigma_m \to \sigma $ となる弱収束を仮定する。
• 極限スペクトル測度 $ N $ を特徴付けるために、Stieltjes変換 $ f(z) = \int \frac{N(d\lambda)}{\lambda - z} $ を用い、関数方程式 $ z f(z) = c - 1 - c \int (1 + \tau f(z))^{-1} \sigma(d\tau) $ を満たすことを示す。
• 『非常に優れた』ベクトル（定義1.6）の概念を導入する。これは『優れた』ベクトル（定義1.2）の部分クラスであり、行列成分における十分な集中性と独立性を保証するモーメントおよび尾部条件によって定義される。
• リゾルベント法と等方的集中不等式を用いて、リゾルベント成分 $ G_{jj}(z) = [(M_n - zI)^{-1}]_{jj} $ を制御する。条件付き期待値およびデカップリング技術を用いる。
• リゾルベント積のトレースのモーメントおよび分散を、リゾルベント恒等式およびコマント展開を用いて評価する。特に $ \mathbf{E}[g_n(z_1,z_2)] \to f(z_1)f(z_2) $ および $ \mathrm{Var}[g_n(z_1,z_2)] \to 0 $ を示し、ここで $ g_n(z_1,z_2) = n^{-1} \sum_j G_{jj}(z_1)G_{jj}(z_2) $ である。
• Lindeberg型の議論とガウス近似を用いて、『非常に優れた』条件のもとで、線形固有値統計量が分布収束して正規分布に近づくことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等方的ランダムベクトル $ \{\mathbf{y}_\alpha\} $ がどのような条件下で、行列 $ M_n = \sum_{\alpha=1}^m \tau_\alpha \mathbf{y}_\alpha \otimes \mathbf{y}_\alpha $ の線形固有値統計量がガウス分布に分布収束するか？
• RQ2 固有値フラクチュエーションの極限において、『非常に優れた』ベクトルと一般の『優れた』ベクトルとは、どのように区別されるか？
• RQ3 漸近的条件 $ m,n \to \infty $、$ m/n \to c \in [0,\infty) $ の下で、非i.i.d. 成分（例えば対数凹型や等方的ベクトル）に対しても、線形固有値統計量のCLTを確立できるか？
• RQ4 ベクトル成分の四次モーメントおよび尾部挙動は、線形固有値統計量の分散にどのように影響を与えるか？
• RQ5 リゾルベントトレース $ \mathrm{Tr}[(M_n - zI)^{-1}] $ は、このような行列集合のCLTの証明において、どのように重要な役割を果たすか？

主な発見

• 本稿は、ベクトル $ \{\mathbf{y}_\alpha\} $ が『非常に優れた』もの（定義1.6）であるという条件下で、行列 $ M_n = \sum_{\alpha=1}^m \tau_\alpha \mathbf{y}_\alpha \otimes \mathbf{y}_\alpha $ の線形固有値統計量における中心極限定理（CLT）を確立する。これは一般の『優れた』条件よりも強いモーメントおよび尾部制御を意味する。
• 『非常に優れた』ベクトルの下では、正規化された線形固有値統計量 $ \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \varphi(\lambda_j^{(n)}) $ が、極限スペクトル測度 $ N $ とテスト関数 $ \varphi $ に依存する平均および分散の正規分布に分布収束する。
• 線形統計量の極限分散が $ \mathrm{Var}(\mathcal{L}_n(\varphi)) \to \int \varphi(z)^2 \cdot \mathrm{Im} f(z)^2 \, dz $ であることが示され、ここで $ f(z) $ は極限スペクトル測度のStieltjes変換である。
• 証明は、リゾルベント積のトレースの2次モーメント $ g_n(z_1,z_2) = n^{-1} \sum_j G_{jj}(z_1)G_{jj}(z_2) $ が $ f(z_1)f(z_2) $ に収束し、その分散が $ n \to \infty $ で0に収束することを示すことに依存しており、これによりガウス型フラクチュエーション行動が保証される。
• 本結果は、平均0、分散 $ 1/n $ のi.i.d. 成分を持つベクトルや、等方的対数凹型ベクトルといった重要な例にも適用可能であり、これらが弱いモーメント条件のもとで『非常に優れた』ものであることが示されている。
• 本稿は、ベクトル分布に対する鋭い条件を提供する：成分が $ \mathbf{E}[y_{\alpha j}^4] = 3/n^2 $ かつ $ k \geq 5 $ に対して $ \mathbf{E}[y_{\alpha j}^k] = o(n^{-k/2}) $ を満たすならば、ベクトルは『非常に優れた』ものであり、これによりCLTが成立することが保証される。