[論文レビュー] The Central Limit Theorem for uniformly strong mixing measures

Nicolai Haydn|ArXiv.org|Mar 7, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、可算無限分割をもつ一様強混合系において、情報関数 $ I_n(x) = -\log\mu(A_n(x)) $ の中心極限定理（CLT）および対数正規分布を、最小限の正則性仮定の下で確立する。情報関数の四次モーメントが有限である場合、収束の多項式的レートを示し、Ibragimovの結果を有限分割にとどまらず、ギブス性や条件付きエントロピーの正則性条件を必要としない形に拡張する。

ABSTRACT

The theorem of Shannon-McMillan-Breiman states that for every generating partition on an ergodic system, the exponential decay rate of the measure of cylinder sets equals the metric entropy almost everywhere (provided the entropy is finite). In this paper we prove that the measure of cylinder sets are lognormally distributed for strongly mixing systems and infinite partitions and show that the rate of convergence is polynomial provided the fourth moment of the information function is finite. Also, unlike previous results by Ibragimov and others which only apply to finite partitions, here we do not require any regularity of the conditional entropy function. We also obtain the law of the iterated logarithm and the weak invariance principle for the information function.

研究の動機と目的

• 情報関数のCLTを、有限分割および条件付きエントロピーの正則性を要件としてきた先行研究から、可算無限分割をもつ系へ一般化すること。
• 情報関数のCLTにあたって、ギブス性またはRadon-Nikodym導来の正則性条件を必要としないようにすること。
• 情報関数の四次モーメントが有限であるという仮定の下で、$ I_n(x) $ の対数正規分布への収束レートを多項式的レートとして確立すること。
• 一様強混合系における情報関数に対して、反復対数法則（LIL）および弱不変性原理を確立すること。
• ギブス型の特徴づけに依存しない、一般の一様強混合測度に対して有効な枠組みを提供すること。

提案手法

• 強混合性を活用して、時間区間ごとの独立な増分に情報関数 $ I_n(x) $ を分解するカップリング法を用いる。
• 尾確率を制御し、分布収束を保証するために、閾値 $ \ell \sim n^\alpha $、$ \alpha < 1/2 $ を用いた切り捨て技術を適用する。
• 分離されたブロック間の依存性を制御するために、混合レート $ \psi(\Delta) $ を用い、$ \psi(\Delta) $ が多項式的または指数的に減少すると仮定する。
• 積空間上での確率変数 $ Y $ を導入し、ブロック間の依存性を定量化することで、情報増分の和の分散を制御する。
• $ L^2 $-ノルム条件と相関の指数的減少を用いて、特にマルコフ連鎖の場合に情報関数の分散を制限する。
• ほぼ確実な不変性原理および関数的中心極限定理の技法を適用し、正規化された情報過程がブラウン運動に弱収束することを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様強混合系に可算無限分割をもつ場合、情報関数 $ I_n(x) = -\log\mu(A_n(x)) $ は分布収束して対数正規分布に近づくか？
• RQ2 情報関数の四次モーメントが有限である場合、対数正規分布への収束レートが多項式的であると定量的に示せるか？
• RQ3 ギブス性または条件付きエントロピー関数の正則性を仮定しないで、$ I_n(x) $ の中心極限定理が成立するか？
• RQ4 この一般設定において、反復対数法則および弱不変性原理が確立可能か？
• RQ5 無限アルファベット上のマルコフ連鎖における $ I_n(x) $ の漸近的分散は何か？ 有限極限に収束するか？

主な発見

• 一様強混合系に可算無限分割をもつ場合、有限分割や正則性仮定なしに、情報関数 $ I_n(x) $ は漸近的に対数正規分布に従う。
• 情報関数の四次モーメントが有限である限り、対数正規分布への収束レートは多項式的であり、具体的には $ \mathcal{O}(n^{-\kappa}) $（$ \kappa > 0 $）となる。
• 同じ条件下で、反復対数法則が成立し、フラクチュエーションのほとんど確実な成長率が確認される。
• 弱不変性原理が確立された：正規化された過程 $ X_n(t,x) = (I_{[nt]}(x) - \mathbb{E}[I_{[nt]}]) / \sigma\sqrt{n} $ は、標準ブラウン運動に弱収束する。
• 無限アルファベット上のマルコフ連鎖では、漸近的分散 $ \sigma^2 $ は、遷移確率の対数比の相関を含む収束する無限級数で与えられる。
• マルコフ連鎖の分散式には、遷移確率の対数比の二乗から来る主要項と、長距離相関から来る補正項が含まれるが、両者とも指数的混合性により収束する。