[論文レビュー] The central nature of the Hidden Subgroup problem

Stephen Fenner, Yong Zhang|ArXiv.org|Oct 13, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非アーベル群や置換群を含む広範な群の族において、量子計算における中心的問題である隠し部分群問題（HSP）への多項式時間還元可能性を、隠しコセット問題、軌道コセット問題、隠しシフト問題、一般化された隠しシフト問題が満たすことを確立している。主な貢献は、置換群または滑らかな位数のダイヘドラル群におけるHSPの解法が、これらの関連問題を解くのに十分であることを証明し、HSPの決定版と探索版の非適応的プログラムチェッカーを構築したことである。

ABSTRACT

We show that several problems that figure prominently in quantum computing, including Hidden Coset, Hidden Shift, and Orbit Coset, are equivalent or reducible to Hidden Subgroup for a large variety of groups. We also show that, over permutation groups, the decision version and search version of Hidden Subgroup are polynomial-time equivalent. For Hidden Subgroup over dihedral groups, such an equivalence can be obtained if the order of the group is smooth. Finally, we give nonadaptive program checkers for Hidden Subgroup and its decision version.

研究の動機と目的

• 隠しコセット問題、軌道コセット問題、隠しシフト問題、一般化された隠しシフト問題といった主要な量子計算問題の間の関係を統一的かつ明確にすること。
• これらの問題が、非アーベル群や置換群を含む広範な群族において、隠し部分群問題（HSP）へ多項式時間還元可能であることを示すこと。
• 置換群および滑らかな位数のダイヘドラル群において、HSPの決定版と探索版が多項式時間で等価であることを確立すること。
• 置換群におけるHSPの決定版と探索版の非適応的プログラムチェッカーを設計し、高い確率で正しく動作することを保証すること。

提案手法

• 隠しコセット問題をHSPに還元するため、群の準同型を構築し、ワループ積構成を用いて隠しコセットのインスタンスをより大きなHSPインスタンスに埋め込む。
• 非アーベル群上のHSPインスタンスに隠しシフト問題および一般化された隠しシフト問題を埋め込むために、群 $ G \wr \mathbb{Z}_2 $ を用いる。
• 定理3.1を適用して、隠しシフトおよび隠しコセットのインスタンスを $ G \wr \mathbb{Z}_2 $ 上の等価なHSPインスタンスに変換し、部分群構造を保存する。
• 非適応的クエリ戦略を用いて、HSPプログラムの正しさを検証する。ランダムな置換を生成し、複数の独立したクエリ間で一貫性をテストする。
• 量子関数とコセット表現の構造を活用し、適応的フィードバックなしにHSPの解をシミュレートおよび検証する。
• 構築された $ G \wr \mathbb{Z}_2 $ インスタンスにおける隠し部分群が元の部分群の持ち上げ版に対応することを活用し、元の問題の解を回復可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 隠しコセット問題、軌道コセット問題、隠しシフト問題、一般化された隠しシフト問題は、一般の有限群上で隠し部分群問題（HSP）へ多項式時間還元可能か？
• RQ2 置換群および滑らかな位数のダイヘドラル群において、HSPの決定版と探索版が多項式時間で等価であることが示せるか？
• RQ3 HSPおよびその決定版に対して、誤差を有界に保ちながら正しさを検証する非適応的プログラムチェッカーを構築可能か？
• RQ4 一般化された隠しシフト問題をワループ積群上のHSPに埋め込む操作を逆転させ、元のインスタンスを回復可能か？これはGHShがHSPの特殊な場合であることを示唆する。
• RQ5 関連問題からHSPへの還元が、群の複雑さ（例えば可解群を可解群に写像するなど）を保存するか？これにより、問題の難易度のより細かい分類が可能になるか？

主な発見

• 任意の有限群、特に非アーベル群において、隠しコセット問題は隠し部分群問題と多項式時間で等価である。
• HSPの定式化に量子関数を許容する場合、軌道コセット問題は隠し部分群問題と等価である。
• 隠しシフト問題および一般化された隠しシフト問題は、ワループ積群 $ G \wr \mathbb{Z}_2 $ 上のHSPに還元可能であり、関数の数が少ない場合には多項式時間で実行可能である。
• 置換群および滑らかな位数のダイヘドラル群において、HSPの決定版と探索版は多項式時間で等価である。
• HSPおよびその決定版の非適応的プログラムチェッカーが存在し、$ k $ 回のクエリに対して $ 1 - 2^{-k} $ 以上の確率で正しく動作する。
• HSP決定版のチェッカーは、プログラムが正しければ CORRECT を出力し、誤りであれば確率 $ 1 - 2^{-k} $ 以上で BUGGY を出力する。これにより高い信頼性が保証される。