[論文レビュー] The Cerny conjecture and 1-contracting automata

Henk Don|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2015

semigroups and automata theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、周期的でない1-収縮的オートマトン—各(n−1)状態部分集合が1欠損語を介して到達可能であり、それに誘導される状態写像が巡回置換を形成するDFA—を導入する。このオートマトンが同期可能であり、Černý予想を満たすことを証明しており、すべてのk-部分集合が長さn(n−k)未満の語によって到達可能であることを示し、このクラス（特定の巡回的および一般化された巡回的オートマトンを含む）における予想の確認を達成する。

ABSTRACT

A deterministic finite automaton is synchronizing if there exists a word that sends all states of the automaton to the same state. Černý conjectured in 1964 that a synchronizing automaton with $n$ states has a synchronizing word of length at most $(n-1)^2$. We introduce the notion of aperiodically $1-$contracting automata and prove that in these automata all subsets of the state set are reachable, so that in particular they are synchronizing. Furthermore, we give a sufficient condition under which the Černý conjecture holds for aperiodically $1-$contracting automata. As a special case, we prove some results for circular automata.

研究の動機と目的

• 同期可能な新しいオートマトンクラス—周期的でない1-収縮的オートマトン—を確立すること。
• このクラスのオートマトンについて、すべてのk-状態部分集合が長さn(n−k)未満の語によって到達可能であることを証明し、Černý予想を支持すること。
• Černuly予想の有効性を、巡回的および一般化された巡回的タイプを含むより広いクラスのオートマトンへと拡張すること。
• 1欠損語の集合を用いた構成的枠組みを提供し、このクラスにおける同期語の特定を可能にすること。
• 枠組みの条件を弱める可能性について検討し、到達可能性と同期性の核心的結果を保持できる範囲を同定すること。

提案手法

• 1-収縮的オートマトンを、各(n−1)状態部分集合が1欠損語（全状態集合をサイズn−1の部分集合に写像する語）によって到達可能であるようなオートマトンとして定義する。
• 1欠損語の集合Wが誘導する状態写像σWを導入し、各除外状態に対してその一意な収縮状態を対応付ける。
• σWが状態集合上で巡回置換を形成するオートマトンを、周期的でない1-収縮的オートマトンと定義する。
• 周期的でない1-収縮的オートマトンが同期可能であり、すべての空でない状態部分集合が到達可能であることを証明する。
• 効率的な1-収縮的集合に含まれる1欠損語の長さがn未満である場合、Černý予想が成立し、k-部分集合がn(n−k)ステップ未満で到達可能であることを確立する。
• パワー・オートマトンの枠組みを用いて到達可能性を分析し、1欠損語の連結により同期を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1欠損語によって誘導される巡回状態写像の存在が、オートマトンが同期可能であることを保証するか？
• RQ2 すべての(n−1)部分集合が1欠損語と巡回状態写像を伴って到達可能なオートマトンについて、Černý予想を証明できるか？
• RQ3 1-収縮的オートマトンの条件をどの程度緩和できるか、到達可能性と同期性を保持できる範囲はどこか？
• RQ4 k-部分集合の到達可能性境界n(n−k)が、すべての同期可能オートマトンに普遍的に適用可能か？
• RQ5 周期的でない1-収縮的オートマトンにおいて、1欠損語のみを用いて同期語を構成的に生成するアルゴリズムは存在するか？

主な発見

• 周期的でない1-収縮的オートマトンは同期可能であり、1欠損語の繰り返し適用が単一状態へ収束することを保証する巡回状態写像のおかげである。
• このようなオートマトンの状態集合のすべてのk-部分集合は、長さn(n−k)未満の語によって到達可能であり、これはこのクラスにおけるČerný予想の成立を示唆する。
• 1欠損語の長さがn未満である効率的1-収縮的集合を備えたオートマトンについて、最短同期語の長さは(n−1)²未満であることが保証され、Černý予想が確認される。
• このクラスは巡回オートマトンおよび複数のラベルを備えたサイクル上の一般化された巡回オートマトンを含み、既知の結果をより広い族へと拡張する。
• 完全な状態サイクルを持たない非巡回的オートマトンの例が提示され、その周期的でない1-収縮的構造のおかげでČerný予想を満たしている。
• 本稿は、すべての同期可能オートマトンにおいて、すべてのk-部分集合が長さn(n−k)未満の語によって到達可能であると予想しており、これは一般化されたČerný予想の成立を示唆する。