[論文レビュー] The change of variable formula for the Riemann integral

Alberto Torchinsky|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2019

Functional Equations Stability Results参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、リーマン積分の基本的性質のみを用いて、リーマン積分における変数変換公式の自己完結的で初等的な証明を提供する。$[a,b]$ 上で有界かつリーマン可積分な関数 $\varphi$ とその不定積分 $\Phi$ を考える。$\Phi([a,b])$ 上で有界な関数 $f$ に対して、$f$ が $\Phi([a,b])$ 上でリーマン可積分であることと、$f(\Phi)\varphi$ が $[a,b]$ 上でリーマン可積分であることとは同値であり、そのとき $\int_{\mathcal{I}} f = \int_{I} f(\Phi)\varphi$ が成り立つ。ここで $\mathcal{I} = [\Phi(a), \Phi(b)]$ である。この結果は、プレイスとウヘルのリーマン＝スティルチェス積分の一般化を用いて、ケステルマンの置換定理を一般化する。

ABSTRACT

This note concerns the general formulation by Preiss and Uher of Kestelman's influential result pertaining the change of variable, or substitution, formula for the Riemann integral.

研究の動機と目的

• 測度論的道具を避けて、リーマン積分の変数変換公式の自己完結的で初等的な証明を提供すること。
• プレイスとウヘルによるリーマン＝スティルチェス積分の一般化の枠組みにおいて、ケステルマンの置換結果を一般化すること。
• $f$ が $\mathcal{I} = \Phi([a,b])$ 上でリーマン可積分であるための必要十分条件を、$[a,b]$ 上での $f(\Phi)\varphi$ の可積分性に基づいて確立すること。
• 関数 $\varphi$ が有界でなくても、$f(\Phi)\varphi$ が $[a,b]$ 上でリーマン可積分のままであれば、標準的な置換公式が成り立つことを示すこと。

提案手法

• 連続的かつ単調増加な関数 $\Phi$ を用いて、リーマン＝スティルチェス積分の枠組みを定義し、$\Phi$ に関する上積分と下積分を構成する。
• リーマン＝スティルチェス可積分性の実用的特徴づけを用いる：任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$U(f,\Phi,\mathcal{P}) - L(f,\Phi,\mathcal{P}) \leq \varepsilon$ を満たす分割 $\mathcal{P}$ が存在するとき、$f$ は $\Phi$ に関して可積分である。
• 振動に基づく基準を適用する：$f$ が $\Phi$ に関してリーマン＝スティルチェス可積分であることと、ある分割 $\mathcal{P}$ に対して $\sum_k \text{osc}(f, I_k) \cdot (\Phi(x_{k,r}) - \Phi(x_{k,l})) \leq \varepsilon$ が成り立つことは同値である。
• 分割 $[a,b]$ を $\Phi$ を通じて引き上げることで、$\mathcal{I} = \Phi([a,b])$ の分割 $\mathcal{Q}'$ を構成し、$f$、$\varphi$、$\Phi$ の変動に関する境界を用いて、$\mathcal{Q}'$ 上での振動和を制御する。
• 中間値の定理を用いて、$[a,b]$ 上の区間とその像 $\mathcal{I}$ 上の区間との関係を関係づけ、$f(\Phi)\varphi$ のリーマン和が $f$ の $\mathcal{I}$ 上のリーマン和に対応することを示す。
• 振動和が任意に小さくできるようにすることで、画像分割上での可積分性とリーマン和の収束が示され、$\int_{\mathcal{I}} f = \int_{I} f(\Phi)\varphi$ という基本的な等式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $\Phi$ が有界なリーマン可積分関数 $\varphi$ の不定積分であるとき、$\mathcal{I} = \Phi([a,b])$ 上で関数 $f$ がリーマン可積分となる条件は何か？
• RQ2 $f(\Phi)\varphi$ が $[a,b]$ 上でリーマン可積分となる条件は何か？
• RQ3 置換 $x \mapsto \Phi(x)$ の下で、リーマン積分 $\int_{\mathcal{I}} f$ と $\int_{I} f(\Phi)\varphi$ の正確な関係は何か？
• RQ4 関数 $\varphi$ が有界でない、あるいは $\Phi$ が $C^1$ でない場合でも、リーマン積分論のみに依拠して変数変換公式を確立できるか？
• RQ5 振動に基づく基準を用いて、置換の文脈における可積分性とリーマン和の収束をどのように証明できるか？

主な発見

• $f$ が $\mathcal{I} = [\Phi(a), \Phi(b)]$ 上でリーマン可積分であることと、$f(\Phi)\varphi$ が $[a,b]$ 上でリーマン可積分であることとは同値である。
• 両方の積分が存在するとき、変数変換公式 $\int_{\mathcal{I}} f = \int_{I} f(\Phi)\varphi$ が成り立つ。
• 証明は測度論やルベーグ積分を用いず、上積分・下積分および振動基準を含むリーマン積分の基本的性質にのみ依拠している。
• 分割を細かくすることで、$\sum_k \text{osc}(f, \mathcal{I}_k) \cdot |\mathcal{I}_k|$ の振動和を任意に小さくできるため、$f$ の $\mathcal{I}$ 上での可積分性が保証される。
• 関数 $\varphi$ が有界でなくても、$f(\Phi)\varphi$ が $[a,b]$ 上でリーマン可積分のままであれば、この結果は拡張可能である。
• 例として、$[0,1]$ 上で $\Phi(x) = x^{1-\varepsilon}$、$\varphi(x) = (1-\varepsilon)x^{-\varepsilon}$ とし、$f$ が $0$ の近傍で $x^\beta$ のオーダーで、$\beta \geq \varepsilon/(1-\varepsilon)$ を満たすとき、置換公式が成り立つことが示されている。