[論文レビュー] The Chaos of Propagation in a Retrial Supermarket Model

Quan‐Lin Li, Meng Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2011

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 43被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、N台の同一サーバーを備えたリトライスーパー市場モデルを導入し、2つのプローブサーバー選択番号を用いて、プライマリ到着およびリトライ到着を動的にルーティングする手法を提示し、作用素半群を用いて平均場極限を確立する。主な貢献は、M/M/1リトライ尾部方程式を一般化する非線形方程式系の確立であり、固定点計算による性能解析と、到着率およびリトライ率の変動下でのキュー長挙動の数値的妥当性を可能にする。

ABSTRACT

When decomposing the total orbit into $N$ sub-orbits (or simply orbits) related to each of $N$ servers and through comparing the numbers of customers in these orbits, we introduce a retrial supermarket model of $N$ identical servers, where two probing-server choice numbers are respectively designed for dynamically allocating each primary arrival and each retrial arrival into these orbits when the chosen servers are all busy. Note that the designed purpose of the two choice numbers can effectively improve performance measures of this retrial supermarket model. This paper analyzes a simple and basic retrial supermarket model of N identical servers, that is, Poisson arrivals, exponential service and retrial times. To this end, we first provide a detailed probability computation to set up an infinite-dimensional system of differential equations (or mean-field equations) satisfied by the expected fraction vector. Then, as N goes to infinity, we apply the operator semigroup to obtaining the mean-field limit (or chaos of propagation) for the sequence of Markov processes which express the state of this retrial supermarket model. Specifically, some simple and basic conditions for the mean-field limit as well as for the Lipschitz condition are established through the first two moments of the queue length in any orbit. Finally, we show that the fixed point satisfies a system of nonlinear equations which is an interesting networking generalization of the tail equations given in the M/M/1 retrial queue, and also use the fixed point to give performance analysis of this retrial supermarket model through numerical computation.

研究の動機と目的

• ポisson到着、指数サービスおよびリトライ時間を持つ大規模なリトライスーパー市場システムをモデル化すること。
• N → ∞ のとき、システム状態を記述するマコフ過程の系列に対する厳密な平均場極限を確立すること。
• M/M/1リトライキューの尾部方程式を一般化する非線形方程式系を導出し、性能評価に用いること。
• 変動する到着率およびリトライ率下での期待キュー長の数値的計算を通じて、モデルを検証すること。
• リトライキューイングネットワーク分野において先行研究が限られる中で、平均場法の有効性を示すこと。

提案手法

• 5つのモデルケースにわたる詳細な確率計算に基づき、無限次元の平均場微分方程式系を定式化する。
• 作用素半群理論を適用して、平均場極限の存在および一意性を証明し、極限における伝播のカオス性を保証する。
• 任意のオービットにおけるキュー長の一次モーメントおよび二次モーメントを用いてリプシッツ条件を確立し、収束を保証する。
• M/M/1リトライキューの尾部方程式を一般化する固定点系の非線形方程式を導出する。
• MATLABを含む数値的手法を用いて、性能評価のための固定点方程式を解く。
• キュー確率の超指数的減衰に起因し、M=50での切断により、定常状態における顧客数の期待値を高精度に近似可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2択ルーティングを用いたリトライスーパー市場モデルは、どのように定式化すれば負荷分散および性能を向上させることができるか？
• RQ2 N台の同一サーバーを有するリトライキューイングシステムにおいて、平均場極限の存在および一意性を保証する条件は何か？
• RQ3 キュー長の一次モーメントおよび二次モーメントは、収束のためのリプシッツ条件確立にどのように寄与するか？
• RQ4 固定点系は、M/M/1リトライキューの尾部方程式をどのように一般化するか？
• RQ5 変動する到着率およびリトライ率は、モデルが予測するシステム内における期待顧客数にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 作用素半群およびキュー長の一次および二次モーメントから導出されたリプシッツ条件を用いて、平均場極限が厳密に確立された。
• 固定点は、M/M/1リトライキューの尾部方程式を一般化する非線形方程式系を満たし、性能解析の基盤を提供する。
• 数値的結果から、すべてのd₁, d₂に対してポisson到着率λの増加に伴い、期待キュー長E[Q]が増加するが、d₁およびd₂が増加するに従い急激に減少することが示された。
• リトライ率θの増加に伴いE[Q]は顕著に減少し、特にd₁およびd₂が大きい場合にその減少は顕著である。
• M=50での切断により、π_{I,k}およびπ_{W,k}系列の超指数的減衰に起因し、E[Q]の高精度近似が達成された。
• 提案された平均場法は、大規模なリトライスーパー市場モデルに対して有効かつ適用可能であり、非ポアソン的・非指数的、さらにはより複雑なシステムへの応用が可能である。