[論文レビュー] The characteristic gluing problem for the Einstein equations and applications

Stefanos Aretakis, Stefan Czimek+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、アインシュタイン真空方程式に対する特徴的グリッティング構成を、特徴的次元10のものとして導入する。この方法では、無限遠における光的特徴の保存則を用いて、漸近的に平坦な初期データをカー時空のデータにグリッティングする。遷移領域での減衰の損失が生じないという特徴を持ち、コーヴィノ–シューレンおよびカルロット・シューレンのスカラーライクなグリッティング定理の別証明を可能にし、減衰の保存に関する未解決問題を解決する。

ABSTRACT

In this paper we introduce the characteristic gluing problem for the Einstein vacuum equations. We present a codimension-$10$ gluing construction for characteristic initial data which are close to the Minkowski data and we show that the $10$-dimensional obstruction space consists of gauge-invariant charges which are conserved by the linearized null constraint equations. By relating these $10$ charges to the ADM energy, linear momentum, angular momentum and the center-of-mass we prove that asymptotically flat data can be characteristically glued (including the $10$ charges) to the data of a suitably chosen Kerr spacetime, obtaining as a corollary an alternative proof of the Corvino--Schoen spacelike gluing construction. Moreover, we derive a localized version of our construction where the given data restricted on an angular sector is characteristically glued to the Minkowski data restricted on another angular sector. As a corollary we obtain an alternative proof of the Carlotto-Schoen localized spacelike gluing construction. Our method yields no loss of decay in the transition region, resolving an open problem. We also discuss a number of other applications.

研究の動機と目的

• アインシュタイン真空方程式の特徴的グリッティング問題を、光的特徴の無限遠近傍で定式化・解明すること。
• 線形化された光的制約方程式が保存するゲージ不変量の電荷から成る10次元の障害空間を同定すること。
• 漸近的に平坦な初期データを、ADMエネルギー、運動量、角運動量、重心位置を保存したまま、カーのデータに特徴的にグリッティングできることを示すこと。
• 局所化されたグリッティング構成を構築し、ある領域におけるデータを別の領域のミンコフスキー時空のデータにグリッティングすることで、減衰性質を保存すること。
• 未解決の局所化されたスカラーライクなグリッティングにおける減衰の保存問題を解決する、新たな減衰を保つ方法を提供すること。

提案手法

• 著者たちは、二重光的フィブレーション枠組みを用いて、分岐する光的超曲面における光的構造方程式およびリッチ係数を分析する。
• ミンコフスキー時空における線形化制約方程式から、ADMエネルギー、運動量、角運動量、重心位置に対応する電荷（E, P, L, G）を同定する。
• 球面データと微分同相写像を用いた摂動スキームを構築し、所定の電荷を持つ線形化グリッティング問題を解く。
• 球面の系列上で再帰的反復スキームを用いて、摂動および関連電荷の減衰を制御する。
• 遷移領域での減衰の損失なしに、局所化されたグリッティングを可能にする局所化補題を組み込む。
• 高正則性における特徴的初期値問題の適切性を適用し、構築されたデータを減衰が制御されたスカラーライクな超曲面に伝搬する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アインシュタイン真空方程式の特徴的グリッティング問題における障害空間のコードィメンジョンは何か？
• RQ2 無限遠における保存電荷は、エネルギー、運動量、角運動量といったADM量とどのように関係するか？
• RQ3 漸近的に平坦な初期データを、すべての10個の保存電荷を保持したまま、カーのデータに特徴的にグリッティングできるか？
• RQ4 遷移領域での減衰を失わず、局所化された領域（角度的セクター）でグリッティングを行うことは可能か？
• RQ5 特徴的グリッティング法により、コーヴィノ–シューレンおよびカルロット・シューレンのスカラーライクなグリッティング定理の別証明を得られるか？

主な発見

• 特徴的グリッティング問題は、無限遠における10個の保存ゲージ不変電荷（E, P, L, G）に対応するコードィメンジョン10の障害空間を有する。
• これらの10個の電荷は、幾何学的にADMエネルギー、運動量、角運動量、重心位置として解釈され、カー時空データへの正確な一致を可能にする。
• 遷移領域での減衰の損失が生じないという特徴により、局所化グリッティングにおける長年の未解決問題が解決された。
• 本手法により、カー時空への特徴的グリッティングを経由して、コーヴィノ–シューレンのスカラーライクなグリッティング定理の別証明が得られた。
• 局所化されたバージョンのグリッティングが構築され、あるセクターにおけるデータが別のセクターのミンコフスキー時空データにグリッティングされ、すべてのスケールで減衰性質が保たれた。
• 大きなアニュラス上に誘導されるスカラーライクな初期データが、スケール不変ノルムにおいて元のデータから O((1+2c)^{-n} R^{-1}) に近いことが示され、漸近的平坦性およびエネルギー運動量の制御が確認された。