[論文レビュー] The Choquet-Deny theorem and distal properties of totally disconnected locally compact groups of polynomial growth

Wojciech Jaworski, Raja, C. R. E.|ArXiv.org|Feb 14, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 30被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、多項式成長を示すコンパクト生成完全不連結局所コンパクト群および一般化された$̅{FC}$-群におけるチョケ・デニの定理の妥当性について、同値な特徴づけを確立する。この定理が成り立つのは、内部自己同型が距離的に作用するときであり、これは自明な収縮部分群およびSIN性と同値であり、調和解析と群構造・力学系の間の関係を結ぶ。

ABSTRACT

We obtain sufficient and necessary conditions for the Choquet-Deny theorem to hold in the class of compactly generated totally disconnected locally compact groups of polynomial growth, and in a larger class of totally disconnected generalized $\ov{FC}$-groups. The following conditions turn out to be equivalent when $G$ is a metrizable compactly generated totally disconnected locally compact group of polynomial growth: (i) the Choquet-Deny theorem holds for $G$; (ii) the group of inner automorphisms of $G$ acts distally on $G$; (iii) every inner automorphism of $G$ is distal; (iv) the contraction subgroup of every inner automorphism of $G$ is trivial; (v) $G$ is a SIN group. We also show that for every probability measure $μ$ on a totally disconnected compactly generated locally compact second countable group of polynomial growth, the Poisson boundary is a homogeneous space of $G$, and that it is a compact homogeneous space when the support of $μ$ generates $G$.

研究の動機と目的

• コンパクト生成完全不連結局所コンパクト群の多項式成長に対して、チョケ・デニの定理が成り立つための必要十分条件を特定すること。
• 完全不連結一般化$̅{FC}$-群のより広いクラスに分析を拡張すること。
• このような群における確率的ウォークのポアソン境界の構造を特徴づけること。
• 非アーベルな文脈における距離的群作用、収縮部分群、調和関数論の間の関係を明確にすること。

提案手法

• 内部自己同型の群上の作用を分析し、軌道の閉包が単位元を含まないことで距離的性質を定義する。
• 要素$ g $の収縮部分群$ C(g) $を$ \{ x \in G \mid \lim_{n \to \infty} g^n x g^{-n} = e \} $として定義し、その自明性を検討する。
• 距離的内部自己同型と自明な収縮部分群の同値性を用いて、群の構造的条件を導出する。
• 特にポアソン境界および$ \mu $-境界の理論を含む、位相的力学系と調和解析の結果を応用する。
• 距離的、コンパクト生成、完全不連結、多項式成長群において、$ \operatorname{Inn}(G) $の距離的性質が$ G $がSIN群であることを示す事実を活用する。
• ポアソン境界を$ G/H $のような同次空間として構成する。特に$ \mu $の台が$ G $を生成する場合を想定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト生成完全不連結局所コンパクト群の多項式成長に対して、チョケ・デニの定理がいつ成り立つか。
• RQ2 このような群において、距離的群作用と収縮部分群の構造の間の明確な関係は何か。
• RQ3 このような群における確率的ウォークのポアソン境界がコンパクトな同次空間であるための条件は何か。
• RQ4 これらの群において、内部自己同型の性質（距離的性、自明な収縮部分群）とSIN性の関係は何か。
• RQ5 $ \mu $が適切で、その台が$ G $を生成するとき、$ \mu $-境界を明示的に同次空間として実現できるか。

主な発見

• 距離的、コンパクト生成、完全不連結、局所コンパクトな群$ G $が多項式成長を示すとき、チョケ・デニの定理が成り立つのは、内部自己同型群$ \operatorname{Inn}(G) $が$ G $上で距離的に作用するときである。
• このような群において、以下の五つの条件は同値である：(i) チョケ・デニの定理が成り立つ；(ii) $ \operatorname{Inn}(G) $が距離的に作用する；(iii) すべての内部自己同型が距離的である；(iv) すべての$ g \in G $の収縮部分群が自明である；(v) $ G $はSIN群である。
• このような群における任意の確率測度$ \mu $に対して、ポアソン境界は$ G $の同次空間であり、$ \mu $が適切でその台が$ G $を生成するとき、それはコンパクトである。
• $ G = \mathbb{Z}_2^{\mathbb{Z}} \rtimes_\tau \mathbb{Z} $、$ \tau $をシフト自己同型とするとき、$ \mu $-境界は$ \mathbb{Z}_2^{\mathbb{Z}} / T $として実現可能であり、ここで$ T $は閉かつ$ \tau $-不変な部分群である。
• $ \mathbb{Z}_2^{\mathbb{Z}} \rtimes_\tau \mathbb{Z} $のケースでは、$ \operatorname{Inn}(G) $が正規部分群$ \mathbb{Z}_2^{\mathbb{Z}} \times \{0\} $上で距離的に作用しないため、チョケ・デニの定理は成立しない。これは$ C(\tau) $が非自明であるためである。
• 各閉$ \tau $-不変部分群$ T $に対して、適切な測度$ \mu_T $が存在し、$ \mu_T $-境界は$ \mathbb{Z}_2^{\mathbb{Z}} / T $に同型であり、これらは$ G $-空間として互いに同型でない。