[論文レビュー] The Chow groups and the motive of the Hilbert scheme of points on a surface

Mark Andrea de Cataldo, Luca Migliorini|ArXiv.org|May 24, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、任意の体上の滑らかな代数的表面のn点のヒルベルトスキームの有理係数を用いたチャウモチーフおよびチャウ群を計算する。ギジン形式的およびnの分割に付随する対応を用いて、ヒルベルトスキームのモチーフと、各分割の長さに応じたテートねじれおよびシフトを施した、表面の対称冪の積のモチーフの直和との間の同型を確立する。

ABSTRACT

We compute the Chow motive and the Chow groups with rational coefficients of the Hilbert scheme of points on a smooth algebraic surface

研究の動機と目的

• 任意の体上の滑らかな曲面Xに対して、n点のヒルベルトスキームX^{[n]}の有理係数を用いたチャウモチーフを特定すること。
• X^{[n]}のチャウ群の加法的構造を、Xの対称冪のチャウ群に帰着させることにより理解すること。
• 混合ホッジ構造における分解定理とテートねじれを統合する、X^{[n]}のモチーフ的分解を確立すること。
• すべてのnについてのX^{[n]}のモチーフ的構造を符号化する生成関数を構成すること。

提案手法

• 著者たちは、フォルティン＝マクファーソンのギジン形式的を用いて、各分割ν ∈ P(n)に付随する精細な対応\hat{\Gamma}^\nuを定義する。
• チャウ群間の準同型写像\hat{\Gamma}_*を構成し、その単射性および全射性（補題5.1.5および5.3.2）を示すことにより、それが同型であることを証明する。
• 主なステップは、各ストラトムに付随する射影子Δ_νが直交することを示すことであり、これによりモチーフの直和分解が可能になる。
• X^{[n]}のモチーフは、X^{(\nu)}がνに付随する対称冪の積であるとき、M(X^{(\nu)})(n - l(\nu))[2n - 2l(\nu)]の直和として特定される。
• この結果はヴォエバドスキーのモチーフ的圏に持ち上げられ、DM_{h}(k)_\mathbb{Q}において同型が得られる。
• モチーフ的構造の生成関数が導出され、形式的和\sum_{n=0}^\infty X^{[n]}(n)[2n] q^nが、m ≥ 1についての\prod_{m=1}^\infty \frac{1}{1 - X_m(1)[2] q^m}の積として表される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルトスキームX^{[n]}のチャウモチーフは、曲面Xの対称冪の積を用いてどのように記述できるか？
• RQ2 X^{[n]}のチャウ群と、Xの対称冪の積のチャウ群との間の明確な関係は何か？
• RQ3 混合ホッジ構造における分解定理とテートねじれは、X^{[n]}のモチーフ的構造とどのように関係するか？
• RQ4 すべてのnについてのX^{[n]}のモチーフ的構造を符号化する生成関数を構成できるか？

主な発見

• 有理係数を用いたX^{[n]}のチャウモチーフは、すべての分割ν ∈ P(n)についてのモチーフM(X^{(\nu)})(n - l(\nu))の直和に同型である。ここでX^{(\nu)}はνに付随する対称冪の積である。
• 同型は、チャウ群上で同型を誘導する対応\hat{\Gamma}^\nuを介して実現され、精細なギジン形式的により単射性および全射性が確立される。
• ヴォエバドスキーの圏DM_{h}(k)_\mathbb{Q}におけるX^{[n]}のモチーフは、双対的なテートねじれとシフトを施した後、\bigoplus_{\nu \in P(n)} M(X^{(\nu)})(l(\nu))[2l(\nu)]に同型である。
• モチーフ的構造の生成関数は、\sum_{n=0}^\infty X^{[n]}(n)[2n] q^n = \prod_{m=1}^\infty \frac{1}{1 - X_m(1)[2] q^m}であり、分割による分解を符号化している。
• この結果により、同じ対応枠組みを用いて、ゲーツェの公式によるX^{[n]}のベッチ数のサイクル論的証明が得られる。
• この分解は、分解定理におけるシフトと、混合ホッジ構造におけるテートねじれを調和的に統合する。