[論文レビュー] The Chow motive of semismall resolutions

Mark Andrea A. de Cataldo, Luca Migliorini|ArXiv.org|Apr 5, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、複素多様体からの半小さい代数的写像について、モチーフ的分解定理を確立する。全空間のチャウモチーフが、モノドロミー不変成分を有するファイバーに付随する関連するストラタのねじれたモチーフの直和に分解されることを示している。主な結果は、ストラタとモノドロミー情報から構成された対応を通じて、チャウモチーフ、チャウ群、混合ホッジ構造の明示的同型を与えるもので、ヒルベルトスキームおよび表面の点のパラボリックヒルベルトスキームへの応用を含む。

ABSTRACT

We consider proper, algebraic semismall maps f from a complex algebraic manifold X. We show that the topological Decomposition Theorem implies a "motivic" decomposition theorem for the rational algebraic cycles of X and, in the case X is compact, for the Chow motive of X.The result is a Chow-theoretic analogue of Borho-MacPherson's observation concerning the cohomology of the fibers and their relation to the relevant strata for f. Under suitable assumptions on the stratification, we prove an explicit version of the motivic decomposition theorem. The assumptions are fulfilled in many cases of interest, e.g. in connection with resolutions of orbifolds and of some configuration spaces. We compute the Chow motives and groups in some of these cases, e.g. the nested Hilbert schemes of points of a surface. In an appendix with T. Mochizuki, we do the same for the parabolic Hilbert scheme of points on a surface. The results above hold for mixed Hodge structures and explain, in some cases, the equality between orbifold Betti/Hodge numbers and ordinary Betti/Hodge numbers for the crepant semismall resolutions in terms of the existence of a natural map of mixed Hodge structures. Most results hold over an algebraically closed field and in the Kaehler context.

研究の動機と目的

• 半小さい写像に対して、コホロロジーからチャウモチーフおよび代数的サイクルのカテゴリへ分解定理を拡張すること。
• ボルホ＝マクファーソンのコホロロジー的分解に対するチャウ理論的類似を提供すること。
• ネストドヒルベルトスキームおよび表面の点のパラボリックヒルベルトスキームを含む、特定のケースにおけるチャウモチーフおよびチャウ群を計算すること。
• クレパント解体におけるオルビフォールドおよび通常のベッチ・ホッジ数の等価性を、混合ホッジ構造の自然な写像を通じて説明すること。

提案手法

• 関連するストラタに添えられた、$ X \times X $ のチャウ環における直交射影子の構成を通じて、直接像複体 $ Rf_*\mathbb{Q}_X[\dim X] $ の分解定理を用いる。
• 関連するストラタ上でのファイバーのモノドロミー不変成分から、鋭いギジン形式および交差理論を用いて、対応 $ \overline{\Gamma} $ を構成する。
• 次元のずれを反映するため、$ t_\chi = n - \sum_{v_* = 0} \chi(v) $ を用いて、ねじれたモチーフ $ [X_\chi](t_\chi) $ を定義する。
• 対応 $ \overline{\Gamma}_* $ がストラタのねじれたモチーフの直和と全空間のモチーフの間で同型を誘導することを証明する。
• ヒルベルト＝チャウ写像の分割構造を分析することで、理論をヒルベルトスキームおよびパラボリックヒルベルトスキームに適用する。
• 生成関数を用いて、ヒルベルトスキームのモチーフ的、ベッチ的、ホッジ多項式の生成系列を、底面の表面および除数の対称積を用いて表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半小さい写像に対して、分解定理をコホロロジーからチャウモチーフの圏へどのように拡張できるか。
• RQ2 ストラタとモノドロミーを用いて、半小さい解体のチャウモチーフの明示的構造は何か。
• RQ3 クレパント半小さい解体において、オルビフォールドと通常のホッジ数が一致するのはなぜか。このことはホッジ構造にどのように反映されるか。
• RQ4 表面の点のパラボリックヒルベルトスキームのチャウモチーフは何か。また、その分解構造はどのようになるか。
• RQ5 ヒルベルトスキームのモチーフ、ベッチ数、ホッジ数の生成関数は、底面の表面および除数の対称積を用いて表現可能か。

主な発見

• 全空間のチャウモチーフが、関連するストラタのねじれたモチーフの直和に分解され、射影子の和が $ X $ の対角に等しい。
• ストラタとモノドロミーから構成された対応によって誘導される、チャウ群の明示的同型 $ \overline{\Gamma}_*: \bigoplus_{\chi \in \overline{\mathcal{S}}} A_*(X_\chi) \to A_*(Hilb(X,D;n,h,l_*)) $ が成り立つ。
• パラボリックヒルベルトスキームに対して、モチーフは $ \bigoplus_{\chi \in \overline{\mathcal{S}}} [X_\chi](t_\chi) \cong [Hilb(X,D;n,h,l_*)] $ と分解され、$ t_\chi $ が次元のずれを符号化する。
• チャウモチーフの生成関数は、$ X $ および $ D $ の対称冪の積として表され、$ t^m $ および $ s_\alpha^m $ のねじれを含む。これは分割構造を反映している。
• ベッチおよびホッジ多項式の生成関数は明示的に与えられ、$ t $、$ s_\alpha $、$ X $ および $ D $ のベッチ・ホッジ数を含む有理関数として表現される。
• クレパント解体におけるオルビフォールドと通常のホッジ数の等価性は、モチーフ的分解から生じる混合ホッジ構造の自然な写像によって説明される。