[論文レビュー] The Chow Ring of the Moduli Space of Abelian Threefolds

G.B.M. van der Geer|UvA-DARE (University of Amsterdam)|Feb 7, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、レベル被覆上の等配分クラスと $¯{\mathcal{M}}_3$ のチャウ環との比較を用いて、 principally polarized abelian threefolds のモジュライ空間のデラウンイ・ボロノイコンパクト化 $¯{\mathcal{A}}_3$ のチャウ環の構造を決定する。チャウ環は、$¯{\mathcal{A}}_3$ のタウトロジカルチャウ環を完全に記述するための $¯{\mathbb{Q}}$-代数として、$¯{\lambda}_1$、$¯{\lambda}_3$、および $¯{\sigma}_1$ の4つのクラスによって生成され、$¯{\lambda}_1^4 - 8\u00af{\lambda}_3\u00af{\lambda}_1 = 0$、$¯{\lambda}_1^2\u00af{\sigma}_1 = 0$、$¯{\sigma}_1^3 = 2016\u00af{\lambda}_3$、$¯{\lambda}_3\u00af{\sigma}_1 = 0$ といった明示的な関係を満たす。

ABSTRACT

In this paper we determine the structure of the Chow ring of the Delaunay-Voronoi compactification $ ilde{\cal A}_3$ of the moduli space of principally polarized abelian threefolds. This compactification was introduced by Namikawa and studied by Tsushima. We use equivariant classes on level coverings of $ ilde{\cal A}_3$. We also compare this ring with the Chow ring of the moduli space of stable genus 3 curves as determined by Faber.

研究の動機と目的

• デラウンイ・ボロノイコンパクト化 $¯{\mathcal{A}}_3$ のチャウ環の構造を決定すること。
• $¯{\mathcal{A}}_3$ のレベル被覆における等配分クラスを用いて、チャウ群のランクを評価し、交差数を計算すること。
• チョウ環の関係を、ファーベルによって決定された $¯{\mathcal{M}}_3$ の既知のチャウ環と、2次のトーリの写像を介して比較すること。
• $¯{\mathcal{A}}_3$ のタウトロジカルチャウ環を、明示的な生成子と関係式を用いた $¯{\mathbb{Q}}$-代数として完全に記述すること。

提案手法

• $\u00af{\mathcal{A}}_3$ のレベル $\ell$ 被覆 $\mathcal{A}_3[\ell]$ における等配分チャウクラスの使用により、$\u00af{\mathcal{A}}_3$ のチャウ環を分析し、$Sp(6,\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})$ の作用を活用する。
• 2次であるトーリの写像 $t: \overline{\mathcal{M}}_3 \to \tilde{\mathcal{A}}_3$ を用いて、$\overline{\mathcal{M}}_3$ と $\u00af{\mathcal{A}}_3$ のチャウ環を関連付ける。
• $CH^*(\overline{\mathcal{M}}_3)$ における既知の関係式を用いて、$CH^3(\overline{\mathcal{M}}_3)$ から $CH^3(\tilde{\mathcal{A}}_3)$ への押し出し $t_*$ を計算する。
• ホッジバンドルのチャーン類 $\lambda_i$ と境界ストラトス類 $\sigma_i$ を用いて、タウトロジカル環の構造を定義する。
• $\u00af{\mathcal{A}}_3^{(1)}$ という標準的部分コンパクト化との比較と正確な完全列を用いて、チャウ群のランクの有界性を確立する。このコンパクト化は多面体分割に依存しない。
• 交差理論的チェックを通じて関係式を検証する。特に、$504\lambda_3 = 2\lambda_1\sigma_2 + t_*([(c)]_Q) + 2B_3$ の恒等式を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デラウンイ・ボロノイコンパクト化 $¯{\mathcal{A}}_3$ のチャウ環の構造は何か？
• RQ2 タウトロジカルクラス $¯{\lambda}_1$、$¯{\lambda}_3$、$¯{\sigma}_1$ は、$¯{\mathcal{A}}_3$ のチャウ環をどのように生成するのか？また、それらが満たす関係は何か？
• RQ3 トーリの写像と既知の $¯{\mathcal{M}}_3$ のチャウ環を用いて、$¯{\mathcal{A}}_3$ のチャウ環をどの程度明示的に記述できるか？
• RQ4 コhomologyでは成立するが、チャウ環においても $¯{\sigma}_1^g = \zeta(1-2g)\u00af{\lambda}_g + \text{クラス on } \tilde{\mathcal{A}}_g^{t \geq 2}$ のようなタウトロジカル関係が成立するか？

主な発見

• $¯{\mathcal{A}}_3$ のチャウ環は、$¯{\lambda}_1$、$¯{\lambda}_3$、$¯{\sigma}_1$ によって生成される $¯{\mathbb{Q}}$-代数であり、$¯{\sigma}_1$ はランク1の退化の境界除集合 $D$ のクラスである。
• チャウ環は以下の関係を満たす：$¯{\lambda}_1^4 - 8\u00af{\lambda}_3\u00af{\lambda}_1 = 0$、$¯{\lambda}_1^2\u00af{\sigma}_1 = 0$、$¯{\sigma}_1^3 = 2016\u00af{\lambda}_3$、$¯{\lambda}_3\u00af{\sigma}_1 = 0$ であり、これによりその構造が完全に決定される。
• トーリ写像 $t$ による $¯{\mathcal{M}}_3$ のタウトロジカルクラスの押し出しは明示的に計算され、$t_*(\delta_{00}) = 2[0,0,0,1]$、$t_*(\xi_0) = 2[0,4,-1,1]$、$t_*(\eta_1) = 6[\tilde{A}_{2,1}]$ など、他の例も含まれる。
• 関係式 $504\lambda_3 = 2\lambda_1\sigma_2 + t_*([(c)]_Q) + 2B_3$ が検証され、$CH^*(\overline{\mathcal{M}}_3)$ におけるファーベルの関係式と整合することが確認された。
• $¯{\mathcal{A}}_3$ のチャウ環は、$¯{\mathbb{Q}}[\lambda_1, \lambda_3, \sigma_1]/(\lambda_1^4 - 8\lambda_3\lambda_1, \lambda_1^2\sigma_1, \sigma_1^3 - 2016\lambda_3, \lambda_3\sigma_1)$ に同型であり、完全な表示が得られた。
• 標準的部分コンパクト化 $\u00af{\mathcal{A}}_3^{(1)}$ が基盤的ツールとして用いられ、多面体分割に依存せず、重要な境界除集合 $D$ を含む。