[論文レビュー] The Classification of Triangular Semisimple and Cosemisimple Hopf Algebras Over an Algebraically Closed Field

Pavel Etingof, Shlomo Gelaki|arXiv (Cornell University)|May 26, 1999

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、代数的に閉じた体上での三角的半単純かつ余半単純なホップ代数を、次元Nの同型類と、Gを位数Nの群、Hを部分群、Vを次元|H|^{1/2}のHの無限可約な射影表現、uを位数≤2の中心的元からなる四つ組(G, H, V, u)との間の全単射を確立することで分類する。主な結果は、このようなすべてのホップ代数がドリンフェルトのねじれを用いて群代数から得られること、および最小の三角的ホップ代数は可解な基底群を持ち、次元が1より大きい場合には非自明な群的元を含むことである。

ABSTRACT

In this paper we classify triangular semisimple and cosemisimple Hopf algebras over any algebraically closed field k. Namely, we construct, for each positive integer N, relatively prime to the characteristic of k if it is positive, a bijection between the set of isomorphism classes of triangular semisimple and cosemisimple Hopf algebras of dimension N over k, and the set of isomorphism classes of quadruples (G,H,V,u), where G is a group of order N, H is a subgroup of G, V is an irreducible projective representation of H over k of dimension |H|^{1/2}, and u\\in G is a central element of order \\le 2. This classification implies, in particular, that any triangular semisimple and cosemisimple Hopf algebra over k can be obtained from a group algebra by a twist. We also answer positively the question from our previous paper whether the group underlying a minimal triangular semisimple Hopf algebra is solvable. We conclude by showing that any triangular semisimple and cosemisimple Hopf algebra over k of dimension bigger than 1 contains a non-trivial grouplike element. The classification uses Deligne's theorem on Tannakian categories and the results of a paper of Movshev in an essential way. The proof of solvability and existence of grouplike elements relies on a theorem of Howlett and Isaacs that any group of central type is solvable, which is proved using the classification of finite simple groups. The classification in positive characteristic relies also on the lifting functor from our previous paper.

研究の動機と目的

• 代数的に閉じた体k上でのすべての三角的半単純かつ余半単純なホップ代数を分類すること。
• このようなホップ代数がドリンフェルトのねじれによって群代数から得られるかどうかを特定すること。
• 最小の三角的半単純ホップ代数における基底群の構造を調査すること。
• 次元が1より大きい場合に、このようなホップ代数に非自明な群的元が存在することを確立すること。
• 分類をTannakian圏と結びつけ、モフシェフおよびデリーニュのテンソル圏に関する結果と関連付けること。

提案手法

• テンソル圏の表現が群論的データと関連することを示すデリーニの定理を用いる。
• 半単純な場合における三角的ホップ代数の構造について、モフシェフの結果を適用する。
• 前回の研究で得られた持ち上げ関手を用いて、正の特性における結果を拡張する。
• 同型類のホップ代数と、Gを位数Nの群、H ≤ G、Vを次元|H|^{1/2}のHの無限可約な射影表現、uを位数≤2の中心的元である四つ組(G, H, V, u)との間の全単射を構成する。
• 有限単純群の分類に依存する、ハウレットとアイサースの定理（中心型群は可解）を用いる。
• 射影表現の構造とドリンフェルトのねじれ構成を用いて、すべてのこのようなホップ代数が群代数とねじれ同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的に閉じた体上での任意の三角的半単純かつ余半単純なホップ代数が、群代数のドリンフェルトのねじれとして得られるか。
• RQ2 このようなホップ代数を同型の意味で分類する、正確な群論的データは何か。
• RQ3 最小の三角的半単純ホップ代数の基底群は、常に可解か。
• RQ4 次元が1より大きいすべてのこのようなホップ代数に非自明な群的元が存在するか。
• RQ5 Tannakian圏理論と射影表現理論は、これらのホップ代数の分類においてどのように相互作用するか。

主な発見

• 次元Nの三角的半単純かつ余半単純なホップ代数の同型類と、Gを位数Nの群、H ≤ G、Vを次元|H|^{1/2}のHの無限可約な射影表現、uを位数≤2の中心的元である四つ組(G, H, V, u)との間の全単射により、完全な分類が確立された。
• すべてのこのようなホップ代数が群代数とねじれ同値であることが確認され、ドリンフェルトのねじれによって群代数から得られることを示した。
• 任意の最小の三角的半単純ホップ代数の基底群は可解であることが示され、以前の研究における予想が裏付けられた。
• 次元が1より大きい任意の三角的半単純かつ余半単純なホップ代数には、非自明な群的元が存在する。
• 持ち上げ関手を用いることで、正の特性を含む任意の代数的に閉じた体上でも分類が成り立つ。
• 証明は、有限単純群の分類に依存するハウレットとアイサースの定理に強く依存している。