[論文レビュー] The Clifford Algebra Approach to Quantum Mechanics B: The Dirac Particle and its relation to the Bohm Approach

B. J. Hiley, R. E. Callaghan|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2010

Quantum Mechanics and Applications参考文献 29被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、クライフォード代数の形式的枠組みを用いて、波動関数やヒルベルト空間に依存せずに、エネルギー運動量密度、量子ポテンシャル、スピンの時間発展の正確な表現を導出することにより、ディラック粒子に対する最初の完全な相対論的ド・ブロイ＝ボーム力学を提示する。この研究は、ボーム的アプローチが完全に相対論的であることができることを示しており、非相対論的極限ではパウリ粒子およびシュレーディンガー粒子に対する既知の結果が回復されることを示している。

ABSTRACT

In this paper we present for the first time a complete description of the Bohm model of the Dirac particle. This result demonstrates again that the common perception that it is not possible to construct a fully relativistic version of the Bohm approach is incorrect. We obtain the fully relativistic version by using an approach based on Clifford algebras outlined in two earlier papers by Hiley and by Hiley and Callaghan. The relativistic model is different from the one originally proposed by Bohm and Hiley and by Doran and Lasenby. We obtain exact expressions for the Bohm energy-momentum density, a relativistic quantum Hamilton-Jacobi for the conservation of energy which includes an expression for the quantum potential and a relativistic time development equation for the spin vectors of the particle. We then show that these reduce to the corresponding non-relativistic expressions for the Pauli particle which have already been derived by Bohm, Schiller and Tiomno and in more general form by Hiley and Callaghan. In contrast to the original presentations, there is no need to appeal to classical mechanics at any stage of the development of the formalism. All the results for the Dirac, Pauli and Schroedinger cases are shown to emerge respectively from the hierarchy of Clifford algebras C(13),C(30), C(01) taken over the reals as Hestenes has already argued. Thus quantum mechanics is emerging from one mathematical structure with no need to appeal to an external Hilbert space with wave functions.

研究の動機と目的

• ディラック粒子に対するド・ブロイ＝ボーム解釈の完全な相対論的版を構築すること。これは、このような形式化が不可能であるという一般的な信念を乗り越えることを目的とする。
• ヒルベルト空間や波動関数に依存せずに、クライフォード代数からボーム的アプローチを一貫して導出できることを示すこと。
• ディラック粒子の相対論的量子ポテンシャル、エネルギー運動量密度、スピンの時間発展方程式の正確な表現を導出すること。
• これらの表現の非相対論的極限が、パウリ粒子およびシュレーディンガー粒子に対して既知の結果を正確に再現することを示すこと。
• ディラック電流とボームエネルギー運動量電流の違いを明確にし、相対論的領域で二種類の異なる粒子軌道が生じることを明らかにすること。

提案手法

• 実数上のクライフォード代数 $\mathcal{C}_{1,3}$ を用いた形式的枠組みで、ディラック方程式を幾何代数の要素で表現する。
• ヒルベルト空間や波動関数を必要としない最小左イデアルを用いて量子状態を表現する。
• クライフォード代数の構造から相対論的量子ハミルトニアン＝ハルプ方程式を導出し、量子ポテンシャルを組み込む。
• 運動量二階形式と電流の縮約としてボームエネルギー運動量密度を構築し、エネルギー運動量保存則を満たすようにする。
• 代数的構造からスピンダイナミクスがどのように生じるかを示すために、量子トルク方程式を介してスピンの時間発展方程式を導出する。
• 最小結合を用いて外部場を含める形式への拡張を行い、全微分をゲージ共変微分に置き換える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 波動関数やヒルベルト空間に依存せずに、ディラック粒子に対して完全な相対論的ド・ブロイ＝ボームモデルを構築することは可能か？
• RQ2 クライフォード代数的構造から、相対論的領域における量子ポテンシャルとエネルギー運動量密度はどのように導かれるか？
• RQ3 ボーム的枠組みにおけるスピン時間発展方程式の相対論的一般化は何か？ そして、低速度極限で非相対論的形にどのように還元されるか？
• RQ4 なぜディラック電流とボームエネルギー運動量電流は、相対論的領域で異なる粒子軌道を生じるのか？
• RQ5 クライフォード代数的アプローチは、シュレーディンガー理論、パウリ理論、ディラック理論を、一つの幾何代数的枠組みで統一的に扱えるか？

主な発見

• 本稿は、クライフォード代数を用いて、ディラック粒子に対するボームエネルギー運動量密度の最初の正確な表現を導出し、エネルギー運動量保存則を満たすことを示した。
• 明示的に相対論的であることが保証された量子ポテンシャルを含む、完全な相対論的量子ハミルトニアン＝ハルプ方程式が得られた。
• スピンベクトルの時間発展は、非相対論的極限で既知の形に還元される相対論的量子トルク方程式に従う。
• 形式的枠組みは、ディラック電流とボームエネルギー運動量電流が異なるものであり、相対論的領域で二種類の異なる粒子軌道が生じることを示している。
• 導出された量子ポテンシャルおよびスピンダイナミクスの非相対論的極限が、パウリ粒子に対してボーム、シュレーラー、ティオムノの結果を正確に再現している。
• この全フレームワークは、クライフォード代数の階層 $\mathcal{C}_{1,3}$, $\mathcal{C}_{3,0}$, および $\mathcal{C}_{0,1}$ から自然に導かれるものであり、量子力学が外部のヒルベルト空間を必要とせず、幾何代数の内側からも自然に構築可能であることを示している。