[論文レビュー] The clock number of a knot

Yukiko Abe|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2011

Mathematics and Applications参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、クラスマンの状態モデルから導かれる状態ラティスの最小高として定義される、ねじれの数（clock number）を導入する。素数のねじれに対して、clock numberは交叉数以上であり、等号が成り立つのは、かつたんに2-ブリッジねじれである場合に限ることを証明し、ラティスの入れ替えダイナミクスを通じて、正確な代数的位相的特徴づけを確立する。

ABSTRACT

This paper is about the clock number of a knot. First we define the clock number by using states of a knot defined by Kauffman. Next we show that if K is a prime knot, its clock number is greater than or equal to its crossing number. Finally we prove that its clock number is equal to its crossing number if and only if K is a two-bridge knot.

研究の動機と目的

• クラスマンの状態モデルとラティス図を用いて、ねじれのclock numberを定義・形式化すること。
• 素数のねじれに対して、clock numberと古典的交叉数の関係を調査すること。
• clock numberと交叉数が等しくなるようなねじれを同定すること。
• 特に2-ブリッジねじれに関して、ラティスの入れ替えダイナミクスとねじれの種類との間の構造的関係を確立すること。

提案手法

• すべての図と隣接するスター付き領域に対して、状態ラティスの最小高としてclock numberを定義する。
• 領域にマーカーを配置し、隣接するマーカー間の入れ替えを用いるクラスマンの状態モデルを用いる。
• 時計回りの入れ替えに対して有向辺を配置し、clocked状態を上部、反時計回り状態を下部に配置するラティス図を構成する。
• 補題4.2を適用して、入れ替えの頻度を数える：入力・出力点のマーカーは1回、境界点（入力・出力を除く）は2回、それ以外は4回以上。
• 補題5.3を用いて不等式 $ p(K) + r_i + r_j ≥ 2c(K) + 2 $ を導出する。ここで $ r_i, r_j $ はスター付き領域の頂点数を表す。
• 等式 $ p(K) = c(K) $ が成り立つと仮定し、$ r_i + r_j = c(K) + 2 $ が得られることを示し、この関係を用いて図の位相的再構成により、ねじれが2-ブリッジであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたねじれのすべての状態ラティスにおける最小ラティス高（clock number）は何か？
• RQ2 素数のねじれに対して、clock numberは交叉数とどのように関係するか？
• RQ3 clock numberが交叉数と等しくなる条件は何か？
• RQ4 clock numberは2-ブリッジねじれを他の素数のねじれと区別できるか？
• RQ5 すべての素数のねじれに対して不等式 $ p(K) \geq c(K) $ が成り立つのか？また、等号はいつ成立するか？

主な発見

• 任意の素数のねじれ $ K $ に対して、clock numberは $ p(K) \geq c(K) $ を満たす。ここで $ c(K) $ は最小交叉数を表す。
• clock numberが交叉数に等しいのは、かつたんに $ K $ が2-ブリッジねじれである場合に限る。
• $ p(K) = c(K) $ のとき、最適図におけるスター付き領域は $ r_i + r_j = c(K) + 2 $ を満たす。ここで $ r_i, r_j $ はスター付き領域の頂点数を表す。
• ある適切な図 $ \tilde{K} $ に対して $ r_i + r_j = c(\tilde{K}) + 2 $ が成り立つならば、$ K $ は2-ブリッジねじれである。
• 2-ブリッジねじれに対しては、clock numberが正確に交叉数に等しくなる図が存在する。これは $ c(K) $ 個の入れ替えを持つ明示的なラティス構成によって示された。
• 非素数のねじれに対しては不等式 $ p(K) \geq c(K) $ は成り立たない。反例として $ p(K) = 5 < 6 = c(K) $ を満たす例が示された。